Quadratische Gleichungen

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1 Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl, so erhält man 3. zu.) Umformen in eine Gleichung und Lösung nach den bekannten Verfahren: + = 00 / = 98 / : = 49 / = 7 = 7 L = 7 ; 7 Reinuadratische Gleichung zu.) Umformen in eine Gleichung. Die bekannten Verfahren zum Lösen der Gleichung versagen! + = 3 Gemischtuadratische Gleichung Durch Probieren kann man die beiden Lösungen = und = -3 finden. Information: Beide Gleichungen bezeichnet man als uadratische Gleichungen, da mindestens ein die Hochzahl besitzt. Man unterscheidet dabei zwischen einer reinuadratischen Gleichung (Aufgabe ) und einer gemischtuadratischen Gleichung (Aufgabe ). Bei einer gemischtuadratischen Gleichung enthält die Gleichung außer noch ein normales, also ein ohne eine Hochzahl. Aufgabe: Finde bei den folgenden Beispielen heraus, ob es sich um eine rein- oder um eine gemischtuadratische Gleichung handelt. Versuche dann, die reinuadratischen Gleichungen zu lösen und die Lösungsmenge (L) zu bestimmen..) 4 =.) 5 = 0 3.) 0 = 4 4.) = ) 8 = 0 6.) = 33 7.) ( 4) = 5 reinuadratisch gemischtuadratisch reinuadratisch gemischtuadratisch reinuadratisch reinuadratisch gemischtuadratisch 8.) = 6 reinuadratisch Seite von 7

2 Lösungen für die reinuadratischen Gleichungen: { ; }.) 4 = 3.) 0 = 4 5.) 8 = 0 = 6 = 4 8 = 0 = 4 = 4 = L = L = 4 ; 4 { 3} = = = L = 6.) = 33 8.) = = 33 5 = 0 3 = 7 = 3 L = 3 ; = 0 = 9 = 0 = 3 L = 0 MERKE: Jede reinuadratische Gleichung lässt sich durch die bekannten Umformungsschritte auf die Form = a bringen. Daraus können sich drei Lösungsmöglichkeiten ergeben: Ist a > 0, (a ist positiv) dann hat die Gleichung genau Lösungen = a und = a Ist a = 0, dann hat die Gleichung genau Lösung = 0 Ist a < 0, (a ist negativ) dann hat die Gleichung keine Lösung. Lösungsmöglichkeit für Aufgabe 7.) ( 4) = 5 / P: (9 4) = 5 P : ( 4) = 5 4 = 5 4 = 5 / = 5 ( 5) = 5 = 9 = 5 = 5 (w) 5 = 5 (w) Sonderfall Produkt gleich 0: Aufgabe: Multipliziert man die Differenz einer Zahl und 5 mit der Summe der gleichen Zahl und 3, so erhält man 0. Übersetzen in eine Gleichung: ( 5) ( + 3) = 0 Überlegung: Wann ist ein Produkt gleich 0? Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist! Das bedeutet für unsere Gleichung:.Faktor.Faktor ( 5) ( + 3) = 0 Seite von 7

3 Wenn der. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: ( 5) = 0 5 = 0 = 5 Wenn der. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: ( + 3) = = 0 = 3 Die Lösungsmenge dieser Gleichung wäre also: L = { 5 ; 3} Setzt man wie bei einer Probe die beiden gefundenen Lösungen nacheinander in die Ausgangsgleichung ein, so erhält man: P: = 5 P : = 3 ( 5 5) ( 5 + 3) = 0 ( 3 5) ( 3 + 3) = = = 0 0 = 0 (w) 0 = 0 (w) MERKE: Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Weitere Beispiele dazu:.) ( + 8) ( ) = 0.) ( 6) (3 + 5) = = 0 = 0 6 = = 0 = 8 = = 6 3 = 5 L = 8 ; 3.) = 7 = = 0 3 = 7 = 6 3 = 4 = 9 { ; 9} L = 4 5 = 3 = = 3 3 L = 3 ; 3 Die uadratische Ergänzung Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden uadratischen Gleichungen:.) ( 3) = 6 /.) = 49 binomische Formel ( ) 3 = 6 ( + 4) = 49 / 3 = 4 3 = = = 7 = 7 = = 3 = = { } L = 7 ; L 3 ; Seite 3 von 7

4 3.) + 8 = 9 4.) = 0 / : = / uadratische Ergänzung 0 = 0 / + 0 ( + 4) = 5 = 0 /.E. + 4 = = 5 + = = = 9 0 = L = { ; 9} = = = 5 = 4 Proben zu Aufgabe 4.) P: = 0 P : = 0 ( ) ( ) = = = = = = 0 0 = 0 (w) 0 = 0 (w) L = { 5 ; 4} MERKE: Die uadratische Ergänzung ist eine Möglichkeit, um eine gemischtuadratische Gleichung zu lösen. Dazu versucht man, durch eine Ergänzung eine binomische Formel zu erzeugen. Diese uadratische Ergänzung erhält man, in dem man den Wert vor dem durch dividiert und dann dieses Ergebnis uadriert. Dazu muss man zuerst die Gleichung in die Form Weitere Beispiele: Löse mit Hilfe der uadratischen Ergänzung: { } + a = b mit a,b R bringen..) = 0.) + 0 = + 4 = = = = 5 ( + 7) = = = = 5 ( + 3) = 4 = = L = ; + 3 = + 3 = = = 5 { } L = ; 5 3.) = = = 6 + = 6 + ( ) = 7 = 7 = 7 = 7 + = 7 + { + } L { 3,65 ;,6 5} L = 7 + ; 7 Seite 4 von 7

5 Proben zu Aufgabe 3.) P: = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = (w) P : = ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) = = = = ( w) Lösungsformel für gemischtuadratische Gleichungen Entwicklung der Lösungsformel mit Hilfe des Beispiels: = 0 / : = 0 Normalform der gemischtuadratischen Gleichung + p + = 0 / + p = / uadratische Ergänzung p p + p + = / zurück zur binomischen Formel p p + = / Wurzel ziehen + = = + oder = p p = ± MERKE: Die p-formel kann nur angewendet werden, wenn die Gleichung in die Normalform ( ohne Vorzahl, rechte Seite gleich Null) umgewandelt wurde! Seite 5 von 7

6 Diese p-formel angewendet auf ein Beispiel bedeutet: = = = p = 6 = 8 p = 9 = 0 p = = 9 9 / = ± / / = ± = ± / = ± / / = ± 8 / 0 / = ± = ± = 4, 5 ± ,5 0 / = ± / = 3 ± 9 8 / = 4,5 ± 0, / = ± / = 3 ± / = 4,5 ± 0,5 3 5 / = ± 9 8 = 3 + = = 4,5 + 0,5 = = + = = = 3 = 4 = 4,5 0,5 = = = L = { ; 4} L = { 5 ; 4} 8 L = ; 9 Bestimme mit Hilfe der p-formel die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen:.) + 4 = 0.) y + 7y 8 = 0 3.) z 0z + 96 = 0 p = = 4 p = 7 = 8 p = 0 = 96 = 8 = 3 L = 8 ;3 y = y = 8 L = ; 8 z = z = 8 L = ; 8 4.) = 0 p = 48 = 35 = 3 = 45 L = 3 ; 45 5.) = 0 p = 07 = 08 = = 08 L = ; 08 Bei längeren Aufgaben muss man durch Umformungsschritte die Gleichung erst in die Normalform bringen: ( 6)( 5) + ( 7)( 4) = = = = = 0 Normalform!!! / / = 8 = ± 96 / = ± 4 4 = 5,5 ±, 5 = 3 L = 8 { ; 3} Seite 6 von 7

7 Die Diskriminante (D) Betrachtet man sich die p-formel, so stellt man fest, dass die Anzahl der Lösungen ( Lösungen, Lösung, keine Lösung) abhängig ist vom Formelteil Diskriminante (Bestimmende). Für diese Diskriminante D gilt: p. Diesen Teilterm der p-formel bezeichnet man als die p ist 0, dann besitzt die Gleichung Lösungen : L ; > = + p p ist = 0, dann besitzt die Gleichung Lösung : L = p ist 0, dann besitzt die Gleichung keine Lösungen : L = < Beispiele: Wie viele Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen jeweils: 36 = = = 0 p p p D = D D = = D = D 00 D 00 + = = D = 8 + D = 8 00 D = 0 00 D = 36 D = 36 D = 0 D > 0 D < 0 D = 0 Lösungen! Keine Lösung! Lösung! Aufgabe: Der Satz von Vieta Notiere 5 Normalformen von gemischtuadratischen Gleichungen, notiere jeweils p und sowie die beiden Lösungen und der Gleichung. Gibt es irgendwelche Zusammenhänge? Beispiel: = + = p ( ) 0 + = 0 = 7 3 = = + = = 0 p = 0 ( ) p = 0 p = 0 = Seite 7 von 7 = 7 = 3

8 Beweise: + = p + + = p + p + = p p + = p p = p i = + i = ( a + b ) i ( a b ) p p = 4 + = p 4 p + = 4 = Anwendungen: Gib zu der jeweils vorgegebenen Lösungsmenge eine gemischtuadratische Gleichung in der Normalform an:.) L = 6 ; 4 = 6 = 4 = p = + = 6 ( 4) p = 6 + ( 4) = 4 p = p = 4 = 0.) L = 7 ; 5 = 7 = 5 = p = + = ( 7) ( 5) p = ( 7) + ( 5) = 35 p = p = = 0 Seite 8 von 7

9 Quadratische Gleichungen (I).) Löse möglichst mit dem einfachsten Verfahren (Ausklammern, Produkt = 0, reinuadratischer Lösungsweg, gemischtuadratischer Lösungsweg) die folgenden uadratischen Gleichungen: a.) 3y = b.) v 8 = 8 c.) ( ) = d.) 4 ( ) = e.) 4 = 8 f.) = g.) z 3z 48 = 0 h.) 5 3 = i.) 5 = 6 4 j.) ( ) = 0 k.) (t + 5) = 0t + 46 l.) 0,6 = 6 m.) ( + )( ) = n.) v +,v = 0,45 o.) (3y + ) y 9 = 0.) Vereinfache die folgenden uadratischen Gleichungen und löse mit Hilfe der uadratischen Ergänzung: a.) + = b.) y 7y = 8y + 4y + 0 c.) 0z 0 + 6z = 98z 3z 4 d.) 5 3 (3 4) = 4 e.) 3(5 y) = y(y ) + 0 f.) (3 7) = ( + ) ) Bestimme jeweils die Variablen p und und löse dann mit Hilfe der Lösungsformel: p p = ± a.) = 0 p = = b.) y y 0 = 0 p = = c.) z 3z 48 = 0 p = = d.) = 0 p = = e.) + 8 = 0 p = = f.) t 4t + 3 = 0 p = = + p + = 0 und benutze dann dielö- 4.) Bringe die folgenden Gleichungen zunächst in die Normalform sungsformel: a.) ( + )( + 3) = 4 b.) ( 3) = ( )( 4) + 9 c.) (3 4) (4 3) + (5 )(5 + ) = 8( + ) + 3 d.) (y + 6)(7,5,5y) (0 + 5y)(y 3) = (7y + 0)(4,4y) Seite 9 von 7

10 Quadratische Gleichungen (I) (Lösungen) zu.) a.) 3y = b.) v 8 = c.) ( ) = 0 y = v = = 0 = 0 y = v = 44 3 = 0 = y = 3 v = L = { 0 ;} L = ; 3 3 v = ( ) { } L = ; d.) 4 = e.) 4 = 8 f.) = 4 + = 4 8 = = 5 5 = 4 ( ) = = ,5 = 4 = 0 = 0 ( + 3) = 4 4 = 9 = 0 = + 3 = + 3 = = = 0,6 3 = = 0, 6 3 L = { 0 ; } = = 5 L = { ; 5} L = ; 3 3 g.) z 3z 48 = 0 h.) 5 3 = i.) 5 = 6 4 z 3z = 48 3 = = 6 z 3z + 4,5 = ,5 = 9 +,5 =,5 = 3 (z 6,5) = 90,5 +,5 + 0,39065 =,5 + 0,39065 ( + ) z 6,5 = 9,5 z 6,5 = 9,5 = 3 0,65 =, z = 6 z = 3 L = 6 ; 6 L = 3 ; 3 + 0,65 =, ,65 =,37 5 = 0,75 = { 75 ; } L = 0, Seite 0 von 7

11 j.) ( ) = 0 k.) (t + 5) = 0t + 46 l.) 0,6 = 6 = 0 = 0 t + 0t + 5 = 0t ,6 6 = 0 = = 0 t + 5 = 46 0,6 + 6 = 0 = 0,5 = 0 L = 0,5 ; 0 t = ( ) t = 0,6 + 0 = 0 t = L = ; 0,6 = = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 L = 0 ; 0 m.) ( + ) ( ) = n.) v +,v = 0,45 o.) (3y + ) y 9 = 0 4 = v +,v + 0,36 = 0,45 + 0,36 9y + y + 4 y 9 = 0 = 6 (v + 0,6) = 0,8 9y 5 = 0 = 4 v + 0,6 = 0,8 v + 0,6 = 0,8 9y = 5 = 4 v = 0, v =,4 5 y = 9 L = { 4 ; 4} L = { 0,;,4 } 5 y = = y = = 3 3 L = ; 3 3 zu.) a.) + = b.) y 7y = 8y + 4y + 0 c.) 0z 0 + 6z = 98z 3z = 3y y = 0 3z 9z = = y y = z z = = + y y + = + z z + = y z 6 = 36 6 = 36 3 = = = y = y = z = z = = = y = 5 y = z = 8 z = L = ; L = 5 ; L = 8 ; Seite von 7

12 d.) 5 3 (3 4) = 4 e.) 3(5 y) = y(y ) + 0 c.) (3 7) = ( + ) = 7 y + 4y = 5 = = y y = 6 = = + y y + = = = y 44 ( ) 6 = 6 = = = y = y = = 6 6 = 6 5 = = y = y = 6 6 = = 0 5 L = ; L = ; 6 6 L = { ;0} zu 3.) = p = 8 = 9 9 L { ; 9} p = = 0 y = 5 y = 4 p = 3 = 48 z = 6 z = 3 p = 3 = = = p = = 8 = = 4 L = { 5 ; 4} L = { 6 ; 3} L = { ; } L = { ; 4} + 3 = p = 4 = = 3 t = L = { 3 ;} a.) = = = b.) y y 0 = 0 c.) z 3z 48 = 0 d.) = 0 e.) + 8 = 0 f.) t 4t 0 3 t zu 4.) a.) ( + )( + 3) = 4 b.) ( 3) = ( )( 4) = = = = 0 6 5, 5,5 = 0 + = / = ± / = ± / =,5 ±,565 +, 5 / = ± / =,5 ± 3, 75 / = ± 3 3 = 4,95 = 5 =,5 = 3 L = { 4,95 ;,5} L = 5 ; 3 Seite von 7

13 / / / c.) (3 4) (4 3) + (5 )(5 + ) = 8( + ) ( ) = = = = 0 = 0 = ± = 0,5 ± 0, 5 + = 0,5 ±,5 = = { ; } L = d.) (y + 6)(7,5,5y) (0 + 5y)(y 3) = (7y + 0)(4,4y) 35y 5y y (0y y 5y) = 8y 9,8y y 5y y 0y y + 5y = 9,8y ,y + 5y + 55 = 0 5 y + 5y + 55 = y 5y = y y = / = ± / = ± / = ± 5 5 = 5 3 = 6 3 L = 5 ; 6 Seite 3 von 7

14 Anwenden von uadratischen Gleichungen Aufgaben:.) Multipliziert man zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen miteinander, so erhält man 756. Wie heißen die beiden natürlichen Zahlen?.) In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge 45 cm ist eine Kathete 9 cm länger als die andere. Wie lang sind die beiden Katheten? (Skizze anfertigen!) zu.) ( + ) = = = 0 / / / = ± = 0,5 ± 0, = 5 ( L = = 0,5 ± 5, 5 = 53) { ; } Die beiden Zahlen heißen 5 und 53. zu.) + ( + 9) = = = = = 0 / / / { } L = ; = ± = 4,5 ± 0, = 4,5 ± 3,5 = 7 ( = 36) Die beiden Katheten sind 7 cm und 36 cm lang. Seite 4 von 7

15 Anwendung uadratischer Gleichungen Zahlenrätsel:.) Die Summe aus einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl beträgt 650. Wie heißt die Zahl?.) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist 40. Wie heißen die ganzen Zahlen? Gib alle Möglichkeiten an. 3.) Verringert man eine natürliche Zahl um 5 und multipliziert das Ergebnis mit der um vergrößerten Zahl, so erhält man 408. Wie heißt diese natürliche Zahl? 4.) Die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen, von denen eine um größer ist als die andere, beträgt ) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist um 55 größer als deren Summe. Wie heißen diese ganzen Zahlen? Gib alle Möglichkeiten an. 6.) Von zwei natürlichen Zahlen liegt die eine ebenso weit über 00 wie die andere darunter. Das Produkt beider Zahlen beträgt ) Die Summe zweier natürlichen Zahlen beträgt 43, ihr Produkt 37. Wie heißen die beiden natürlichen Zahlen? Lösungen: L = L = { 3 ; 5} L = { 0 ; 8} L = { 3; } L = { 5 ; 6} L = { ; 9} L = { 3 ; 3} { 6 ; 5} L = { 8 ; 7} Geometrische Aufgaben:.) Ein Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 36 cm. Die Grundseite ist um cm länger als die zugehörige Höhe. Wie lang sind die Höhe und die Grundseite?.) Eine Seite eines Rechtecks ist um 6 cm länger als die andere. Das Rechteck besitzt einen Flächeninhalt von 6 cm. Wie lang sind die Rechteckseiten? 3.) Bei einem Trapez, dessen eine Grundseite genau so lang ist wie die Höhe und dessen andere Grundseite 5 cm lang ist, beträgt der Flächeninhalt 77 cm. Wie lang sind die Grundseite und die Höhe? 4.) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 34 cm, der Flächeninhalt 050 cm. Wie lang sind die Rechteckseiten? 5.) Verlängert man die Seite eines Quadrats um 3 m und verkürzt die andere Seite um m, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von m. Welche Seitenlänge besitzt das Quadrat? 6.) In ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm soll ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet werden, so dass alle Ecken auf den Quadratseiten liegen. Eine Ecke des Dreiecks soll dabei mit einer Ecke des Quadrats i- dentisch sein. Wie lang ist die Dreieckseite? Wie lang ist die Höhe dieses Dreiecks? Welchen Flächeninhalt besitzt dieses Dreieck? Welchen Umfang besitzt dieses Dreieck? Wie hoch ist der Prozentsatz für die Fläche des Dreiecks in Bezug zur Fläche des Quadrats? 7.) Ein rechteckiger Garten ist 5 m lang und 5 m breit. Um ihn herum führt ein Weg mit gleich bleibender Breite. Dieser Weg beansprucht eine Fläche von 84 m. Wie breit ist dieser Weg? Lösungen: L = { 4 ; 5} L = { 9 ; 8} L = { ; } L = { 38 ; 3} L = {,3 ;8,7} L = { 7 ; } L = { 4 ; 6} Seite 5 von 7

16 Anwendung uadratischer Gleichungen (Lösungen) Zahlenrätsel: zu.) zu.) zu 3.) + = 650 ( ) = 40 ( 5) ( + ) = = 0 40 = = 0 / = ± / / = ± = ± = 0,5 ± 0, = 0,5 ± 0, =,5 ±, / / / = 0,5 ± 5,5 = 0, 5 ± 5,5 =,5 ± 0, 5 / / = 5 = 6 = ( = 6) ( = 5) ( = 9) / zu 4.) zu 5.) zu 6.) + ( + ) = 794 ( + ) 55 = + ( + ) (00 + ) (00 ) = = 0 56 = = 983 / = ± / 69 = ± = = 6 ± = 0,5 ± 0, / / = 6 ± 9 = 0, 5 ± 7, 5 ( = 3) / / = = 3 8 ( = 5) ( = 7) = 3 zu 7.).) + y = 43 = 43 y.) y = 37 (43 y) y = 37 / / / 43y y = 37 y 43y + 37 = 0 = ± =,5 ± 46,5 37 =, 5 ± 9,5 = 3 = Seite 6 von 7

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