Einfache Ausdrücke Datentypen Rekursive funktionale Sprache Franz Wotawa Institut für Softwaretechnologie

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1 Inhalt SWP Funktionale Programme (2. Teil) Einfache Ausdrücke Datentypen Rekursive funktionale Sprache Franz Wotawa Institut für Softwaretechnologie Interpreter für funktionale Sprache Halteproblem Semantik 2 Sprache EXPressions Funktionsvariablen Bisher: Terme Konditionale Funktionen vordefiniert (Built-in Functions) Zur Darstellung programmdefinierter Funktionen FVS.. Menge der Funktionsvariablen Name der Funktione = Funktionsvariable Aber keine Stelligkeit von Funktionen Iterativen Konstrukte Unterprogrammbegriff r: FVS N 0 Wenn r(x)=n dann ist X eine n-stellige Funktion 3 4 Beispiel (Nicht aus EXP) Anmerkung function X (x: integer, y: real) :real; var i := integer; begin for i:=1 to x do y:=2*y; X := y; end; 2 Arten von Funktionen: Funktionssymbole: Eingebaute Funktionen (+, -,..) Funktionsvariablen: Benutzerdefinierte Funktionen X.. Funktionsvariable r(x) =

2 Syntax von EXP Semantikdefinition? 1. IVS EXP (Variablen) 2. Γ EXP (Konstantensymbole) 3. Ist f ein n-stelliges Funktionensymbol und sind t i EXP (für i=1..n), dann f(t 1,..,t n ) EXP. 4. Ist p ein n-stelliges Prädikatensymbol, sind u i EXP (für i=1..n) und ist t 1,t 2 EXP dann ist if p(u 1,.., u n ) then t 1 else t 2 EXP. 5. Ist F eine n-stellige Funktionenvariable und ist t i EXP (für i=1..n) dann ist F(t 1,..,t n ) EXP. Syntax wurde erweitert! Auch Semantik muß erweitert werden. Insbesonders benötigen wir eine Interpretation der benutzerdefinierten Ausdrücke F(t 1,..,t n ) Müssen Zugriff auf die Definition der Funktion haben. 7 8 Funktionsumgebungen (I) Funktionsumgebungen (II) function X (x: integer):integer; begin X := (((x*x) + 1) x) * x; end; Wie bei Variablenumgebung führen wir Funktionenumgebung ein! FENV.. Menge der Funktionsumgebungen δ: FVS EXP wobei δ FENV δx.. Body der Funktion X Zugriff auf Funktionsdefinition über Funktion δ Weitere Annahme: Alle Variablen im Body sind formale Parameter der Funktion. Zum Beispiel ist die Variable x im letzten Beispiel ein formaler Parameter der Funktion X. Ist r(x)=n so gibt es maximal n Variablen in δx Funktionsumgebungen (III) Semantik von EXP Definition: FENV ist die Menge aller δ, δ: FVS EXP, sodaß, falls r(f)=n gilt, δf enthält keine anderen IVS als x 1,..,x n. 1. I(δ,ω,v) = ω(v) für v IVS 2. I(δ,ω,c) = c 0 für c Γund c 0 ist die Konstante zu c 3. I(δ,ω,f(t 1,..,t n )) = f 0 (I(δ,ω,t 1 ),..,I(δ,ω,t n )) (f 0 ist Funktion zu f) 4. Für Konditionale gilt: Ist p o (I(δ,ω,u 1 ),..,I(δ,ω,u n ), )=T, dann I(δ,ω,if p(u 1,..,u n ) then t 1 else t 2 ) = t 1 Ist p o (I(δ,ω,u 1 ),..,I(δ,ω,u n ), )=F, dann I(δ,ω,if p(u 1,..,u n ) then t 1 else t 2 ) = t

3 Semantik von EXP (cont.) Anmerkungen zur Semantik 5. Interpretation von F(t 1,..,t n ) a. Aufruf durch Wert (call-by-value) Definiere neues ω als ω (xi)=i(δ,ω,t i ) für i=1..n wobei x1,..,xn die formalen Parameter in δf sind. I(δ,ω, F(t 1,..,t n )) = I(δ,ω, δf) b. Aufruf durch Name (call-by-name) I(δ,ω, F(t 1,..,t n )) = I(δ,ω, δf[x1 t 1,..,xn t n ]) (Die Ausdrücke t i werden statt xi in Bei call-by-value werden die Argumentausdrücke zuerst ausgewertet und bestimmen das Variablenenvironment während der Auswertung des Funktionenbodies. Bei call-by-name werden die Argumentausdrücke in den Body der Funktion eingesetzt und danach wird der modifizierte Body ausgewertet Beispiel EXP-1 Beispiel EXP-2 Datentyp S (Stacks) Datentyp der natürlichen Zahlen inkl. Null t = F(sub(x)) δf = if ist0?(x1) then sub(x1) else add1(x1) Werte t für ω(x)=100 aus, d.h., berechne I(δ,ω,t)=? ℵ = (N 0,+,--,*,=0?,0,1) -- : x -- y = x y für x y und 0, sonst. =0?(x) x=0 Programm: t = F(x) δf = if =0?(x1) then 1 else *(x1,f(--(x1,1))) ω(x) = Induktives Programmieren Korrektheitsbeweise In EXP lassen sich wie in SML induktiv definierte Funktionen leicht implementieren. Über schrittweise bzw. vollständige Induktion (wie in der Einführung in die Informatik Vorlesung beschrieben). Aufteilung: Basisfälle Rekursive Zweige Terminierung!?

4 Datentyp der Listen Beispiele Listen enthalten Atome und andere Listen Atome: Menge At, wir schreiben Atome immer in Großbuchstaben Beispiele: ABC, ATOM, NAME,... Induktive Definition der Menge der Listen L 1. At L 2. [ ] L (Leere Liste) 3. Ist l 1,..,l k in L, dann ist auch [ l 1... l k ] L Listen: [ NAME [ NAME ] ] NAME [ ], [ [ ] ],... Keine Liste NAME NAME [ NAME Definiere Funktionen Formale Definition der Funktionen first: Liefert das erste Element einer Liste rest: Liefert alle Listen einer Liste mit Ausnahme des 1. Elements build: Baut eine Liste aus 2 gegebenen Listen auf first first(a) = [ ] für a At first([ ]) = [ ] first([ l 1... l k ]) = l 1 für l i L rest rest(a) = [ ] für a At rest([ ]) = [ ] rest([ l 1... l k ]) = [ l 2... l k ] für l i L, n >1 rest([ l 1... l k ]) = [ ] für l i L, n = Definitionen (cont.) Prädikate auf Listen build(l,a) = a für a At und l L build(l,[ ]) = [ l ] für l L build(l, [ l 1... l k ] ) = [ l l 1... l k ] für l, l i L atom?: Liefert T, wenn das Argument ein Atom ist und F, sonst. atom?(x) = T, wenn x At atom?(x) = F, wenn x At eq?: Liefert T, wenn die beiden Argumente gleich sind

5 Listen - Zusammenfassung Bisheriger Inhalt Ein Rückblick = (L,first,rest,build,atom?,eq?,[ ],...) Datentypen Alle Atome sind Konstanten Sprache EXP über [... ] wird repräsentiert durch [... ] nil für [ ] TRUE, FALSE sollen immer Atome sein TRUE, FALSE Γ Sprachen über Datentyp Konditionale, Rekursionen Unterscheidung zwischen Eingebauten und Benutzerdefinierten Funktionen Semantikdefinition (Operational) Erweiterung Erweiterungen (cont.) Sprache über mehreren Datentypen Beispiel: + N (Listen + Zahlen) Liste L mittels N 0 erweitern Funktionen, die nicht auf Argumente definiert sind, liefern konstanten Wert Prädikate, die nicht auf Argumente definiert sind, liefern T oder F. Die erweiterte Menge des Datentyps ist nun L N 0. Die Operationen first, rest, build operieren auch auf Listen von Elementen aus N 0. Die Variablensymbole brauchen nicht typisiert zu werden, denn x bezeichnet eine Zahl, wenn I(x) N 0. Beispiel: Funktion NTH..liefert n-tes Element einer Liste. δnth = if eq?(x1,nil) then ERROR else if =(x2,1) then first(x1) else NTH(rest(x1),-(x2,1)) Nur sinnvoll für x2> Repräsentation von Datentypen Codierungseigenschaften Im Grunde kann jeder Datentyp mit abzählbarem Bereich in repräsentiert werden. Für Datentyp R = (A, f 1,..,f n, p 1,..,p m, c 1,..,c k ) konstruiere Codierung : A L Für Funktionen f i konstruiere [f i ] über L Für Prädikate p i konstruiere [p i ] über L Für Konstante c i konstruiere [c i ] L Es muß gelten: A L 1. [f i ] ([a]) = (f i (a)) für a A 2. [p i ] ([a]) p i (a) für a A f i [f i ] A L A L p i [p i ] {T,F} {T,F}

6 Beispiel Beispiel (cont.) Abbildung des Datentyps der natürlichen Zahlen inkl. Null auf Listen [0]=[], [x] = build(1,[x-1]) [+(x,y)] = union([x], [y]) [-(x,y)] = diff([x], [y])... union und diff müssen noch definiert werden (z.b. als EXP Programm). Die Zahl 3 wird repräsentiert als [ ]. +(2,1) soll auf Funktion abgebildet werden, die [ ] zurückliefert