3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

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1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an Bananensaft in ml + y = 500 ml = 500 ml y 35 mg 18 mg + y= 100 mg 100 ml 100 ml 35 mg 18 mg (500 ml y) + y = 100 mg 100 ml 100 ml 35 mg 18 mg 175 mg y + y = 100 mg 100 ml 100 ml 17 mg 75 mg = y 100 ml 7500 y = ml = ml a) Das rechte Geradenpaar gehört zu dem System. Begründung: Die untere Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung 3 und dem y-achsenabschnitt 5. b) Drei Fälle sind möglich: Kein gemeinsamer Punkt (Geraden parallel), dann hat das System keine Lösung. Genau ein gemeinsamer Punkt (Geraden schneiden sich), dann hat das System genau eine Lösung. Unendlich viele gemeinsame Punkte (Geraden sind identisch), dann hat das System unendlich viele Lösungen. c) Keine Lösung: y = ; eine Lösung: y = y = 2+ 2 y = 3+ 2 ; y = + 1 unendlich viele Lösungen: 2y = d) Drei Geraden ergeben ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und 2 Unbekannten. Dann gilt: Kein gemeinsamer Punkt (die drei Geraden verlaufen nicht alle durch einen Punkt), dann hat das System keine Lösung. Genau ein gemeinsamer Punkt (die drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt), dann hat das System genau eine Lösung. Unendlich viele gemeinsame Punkte (alle drei Geraden sind identisch), dann hat das System unendlich viele Lösungen.

2 : Goldanteil (in kg) y: Silberanteil (in kg) + y = 10 kg y = 10 kg 0,625 kg Das Gleichungssystem hat die Lösung ( ). Das bedeutet, dass die Krone aus kg Gold und kg Silber besteht. 4. a) (1) Gleichsetzungsverfahren: Setze die Gleichungen gleich und löse = 4 7. Das ergibt = 10. Setze dann = 10 in eine der beiden Gleichungen ein und berechne y. Das ergibt y = 33. Die Lösung ist also L = {(10 33)}. (2) Einsetzungsverfahren: Ersetze in der zweiten Gleichung y durch den Ausdruck und löse 3 + 4(3 + 5) = 7. Das ergibt = Setze dann = 13 in die erste Gleichung ein und berechne y. Das 15 ergibt y = 12. Die Lösung ist also L = 5 {( )}. (3) Additionsverfahren: Addiere beide Gleichungen und löse 7y = 2. Das ergibt y = 2. Setze dann y = 2 in eine der beiden Gleichungen 7 7 ein und berechne. Das ergibt = Die Lösung ist also L 38 2 {( 7 7) } =. b) Löse alle Gleichungen nach y auf und zeichne die Geraden im GTR. Die Lösungen sind die gemeinsamen Punkte aller Geraden. c) Lösung durch Rückwärtseinsetzen (Einsetzen von unten nach oben). Die vierte Gleichung liefert d = 2; Einsetzen von d in die dritte Gleichung ergibt c = 6; Einsetzen von c und d in die zweite Gleichung ergibt b = 6; Einsetzen von b, c und d in die erste Gleichung ergibt a = 81. 2b + o + g = 2,1 5. Das System ; hat die Lösung b = 0,6; o = 0,4; g = 0,5. b+ 2o+ g = 1,9 Das System hat unendlich viele Lösungen. Es gibt also noch andere Möglichkeiten.

3 Der Gauss-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems = = 16 = 49 3 Addition des 2fachen der zweiten Gleichung und des ( 5)fachen der ersten Gleichung = = 16 3 = 49 Addition des ( 1)fachen der dritten Gleichung und der zweiten Gleichung = = 65 3 = 49 Addition des 13fachen der dritten Gleichung und der ersten Gleichung. 51 = = 65 3 = : 1 Kaffee aus Brasilien 2: Kaffee aus Kolumbien 3: Kaffee aus Meico = = = 67 Dieses Gleichungssystem hat die Lösung ( ). Also kostet 1 kg Kaffee aus Brasilien 14, aus Kolumbien 12 und aus Meico a) L = {( 1 2)} d) L = {(0 0 0)} g) L = {(1 2 3)} b) L = {(5 2 1)} e) L = {( 6 5 5)} h) L = {(2 1 2)} c) L = {(1 1 2)} f) L = {( )} i) L = {( )} 4. a) b) L = {( )} L = {( 2,766 7,930 19,266 8,945)}

4 c) L = {(2 1 2)} 2 5. a) = = = = 6 Durch Addition des ( 1)fachen der ersten Gleichung und der zweiten Gleichung im ersten Gleichungssystem entsteht das zweite Gleichungssystem, d. h. sie sind äquivalent. b) = = 17 Dieses Gleichungssystem hat die Lösung (4 5). Addiert man beide Gleichungen erhält man: = 31. Diese Gleichung hat z. B. die Lösung (7 1). Man muss also auch die nicht veränderten Gleichungen mitführen, denn Weglassen bedeutet Verzicht auf eine Bedingung und so können mehr Lösungen in Frage kommen, die allerdings das ursprüngliche Gleichungssystem nicht lösen. 6. Mögliche Beispiele: 4a b + 2c = 8 a) a+ 2b 2c = 9 2a + b c = 9 b) c) - 2a 3b + c + d = 4 a+ 3b c+ 2d = 13 5a + b + 2c 2d = 11 a+ b+ c 2d = 7 hat die Lösung (3 2 1). hat die Lösung ( ). 7. : 1 erste Zahl 2: zweite Zahl 3: dritte Zahl = = = 8 Dieses Gleichungssystem hat die Lösung (11 4 5). Das Gleichungssystem ist eindeutig bestimmt und somit ist dies die einzige Lösung.

5 a: Preis gute Ernte; b: Preis mittelmäßige Ernte; c: Preis schlechte Ernte 3a + 2b + c = führt auf 2a + 3b + c = 34 mit Lösung a = ; b = ; c = a + 2b + 3c = 26 Gute Ernte: 37 4 ; mittelmäßige Ernte: 17 4 ; schlechte Ernte: Beide haben richtig gerechnet: Christophs erste Zeile ergibt sich aus der letzten Zeile des Ursprungsgleichungssystems (: 5). Christophs zweite Zeile ergibt sich folgendermaßen aus dem Ursprungs- 1 gleichungssystems: [ 5 (Zeile 3) 2 (Zeile 4) ]. 13 Christophs dritte Zeile entspricht Annes dritter Zeile (: ( 2)). Christophs vierte Zeile entspricht Annes vierter Zeile (: ( 50)). + 0,9y = a) Für s = 0,1 erhalten wir das System, also die Geraden + 1,1y = 0 = + und h: y = 10. g: y Der Schnittpunkt liegt bei S(5,5 5). GTR liefert die gleiche Lösung. 6 b) s= 10 : = ,5; y = ; 7 s= 10 : = ,5; y = ; 8 s= 10 : = ,5; y = Je kleiner s, desto mehr nähern sich die Geraden der Parallelität an. Der Schnittpunkt wird immer weiter nach rechts unten verschoben. c) + (1 s)y = 1 ergibt + (1+ s)y = 0 + (1 s)y = 1 2sy = 1 Rückwärtseinsetzen liefert: L s+ 1 1 {( 2s 2s ) s 0 } = >.

6 a) und zusätzlich alle Spiegelungen an den Symmetrieachsen dieser Quadrate. b) und zusätzlich alle Spiegelungen dieses Quadrats an seinen Symmetrieachsen. 12. a) Mit den Bezeichnungen v 1: Vario 1; v 2: Vario 2; v 3: Vario 3 ergibt 2v1 + 3v2 + 4v3 = 620 sich das System: 5v1 + 10v2 + 15v3 = 1850 v1 + 2v2 + 2v3 = 350 Es besitzt die Lösungsmenge L = {( )}. Damit können 140 Regale vom Typ Vario 1, 80 Regale vom Typ Vario 2 und 20 Regale vom Typ Vario 3 gebaut werden. 2v1 + 3v2 + 4v3 + 5v4 = 620 b) 5v1 + 10v2 + 15v3 + 20v4 = 1850 v1 + 2v2 + 2v3 + 4v4 = 350 besitzt die Lösungsmenge L = {( t 80 3t 20 t) t )}. Gültige Lösungsmengen ergeben sich für t mit 0 t Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen Wenn man das System auf Dreiecksgestalt bringen will, fallen die unteren beiden Gleichungen weg. Man führt dann in = 6 zwei Parameter ein, indem man 3 = t und 2 = s setzt, mit s, t. Man erhält so die Lösung L = 3 {( 3 3s+ t s t 2 ) s, t }.

7 a) b) Die dritte Zeile entspricht der Gleichung 1 t = 10. Damit gilt 1+ 3 = 2 und 2 = 1. Man erhält die Lösung L = {(2 s 1 s) s }. c) L = { } 4. (1) genau eine Lösung a) z. B = = 19 (2) unendlich viele Lösungen a) z. B = = 4 (3) keine Lösung a) z. B = = 3 b) z. B. b) z. B. b) z. B = = = = = = = = = (1) L = { } (2) L = {(3 + t t t) t }

8 a) b) c)

9 a) Setze 3 = t, t, dann folgt L = {(1 t 2 t t) t }. b) c) = dann folgt L = 1 {( ) } Setze 3 t, t, t t t t. d) Setze 4 = t, t, dann folgt L = {( ) } t t t t t. Setze 4 = t, t, dann folgt L = {( ) } 8. a) L = 19 1 {( 0 5 5) } t t t t t. b) L = {( )} c) L = { } d) L = 11 {( + 2 t t t ) t } Konkrete Lösungen: t = 0: 11 1 ( 3 3 0; 13 4 ) 3 3 e) L = {(0 0 1)} f) L = { } t = 1: ( ) 1 ; t = 1: (3 2 1)

10 L = {6 2 t 2 + 3t 5 + 4t t) t } Beide haben Recht. Die angegebenen Lösungen ergeben sich für t = 4 bzw. t = a) L = {( )} c) L = {( )} b) L = { } d) L = {(0 0 0)} 11. a) t = 1: L = { }; t \ {} 1 : L = 2 3t 1 {( t 1 t 1) } b) L = {( 7 0 5)} c) t = 11 = {( ) } { 3} : L ; t \ : L = { } + y = (1) Falsch. Das System hat genauso viele Gleichungen wie 2 + 2y = 0 Variablen, besitzt aber unendlich viele Lösungen. (2) Falsch. Siehe (1). (3) Falsch. Das System + y = 1 besitzt die Lösung (1 0). y = 1 Das System (4) Wahr. + y = 1 besitzt die Lösung (1 0). 2 = a) Mit den Bezeichnungen a: Apfelsaft; b: Ananassaft; c: Multivitaminsaft und d: Orangensaft (in 100 ml) ergibt sich das folgende System: 7,4a + 12,5b + 55c + 35d = 100 a + b + c + d = 2 Es besitzt die Lösungsmenge {( ) } L = + s+ t s t s t s, t. Prüfe, ob es Lösungen gibt, die die Nebenbedingung 0 a, b, c, d 2 erfüllen. Dazu löse die Ungleichungen s+ t 2 und 0 + s+ t Damit ergibt sich der Parameterbereich {(s t) s t s; 1,5 s } b) Fehler in der 1. Auflage: 397 kj anstatt 95 kcal. 12, 5b + 55c + 35d = b + 197c + 163d = 397 b + c + d = 2 besitzt die Lösungsmenge L = {(0, , ,140592)}. Die gewünschte Menge besteht aus 16,9 ml Ananassaft, 169 ml Multivitaminsaft und 14,1 ml Orangensaft.

11 a) Die erste Gleichung ergibt sich aus den Preisen der Sorten, die entsprechend der Anteile gewichtet den Gesamtpreis ergeben. Die zweite Gleichung gilt, da die Summe der Anteile 1 = 100 % ergeben muss. Lösung L = {(0,5 + t 0,5 2t t) t } Da alle Anteile [0; 1] sein müssen, sind nur Lösungen für t [0; 0,25] sinnvoll. Damit ist der Anteil von A mindestens 0,5. b) Es ergibt sich das Gleichungssystem: 6a + 7,5b + 11,25d = 9 a + b + d = 1 L = {( 1 + 2,5t 2 3,5t t) t } Da alle Anteile [0; 1] sein müssen, folgt t 2, 4. Daher kann es keine Mischung mit d = 0,1 geben. 5 7 Blickpunkt Computertomografie Jede Gleichung gibt die Summe der erfahrenen Dämpfungen an. a = 5, b = 2, c = 9, d = 3, e = 7 2. (1) a+ b= 9 (2) a+ b = 5 (3) a+ d = 8 a+ c = 4 a+ c= 4 a+ d = 9 c+ d = 5 b+ d = 8 c+ d+ e = 14 a = 7, b= , d c = = a = 3, b = 2, c = 1, a+ c = 5 a+ d+ f = 21 b+ c = 8 b+ d+ g = 12 c+ d+ e = 10 c+ g = 3 e+ g = 4 d = 6, e = 7 a = 3, b = 6, c = 2, d = 5, e = 3, f = 13, g = 1