2.10. Aufgaben zu Körperberechnungen

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1 Aufgabe Vervollständige die folgende Tabelle:.0. Aufgaben zu Körperberechnungen a, cm 7,8 cm 0,5 mm, dm b 5,5 m,5 cm,5 cm, cm 0, m cm c,5 dm,6 dm 6 dm V 5, cm,5 dm 6 dm cm 9,5 mm 6,6 dm 8 dm 0 cm Aufgabe Berechne die berfläche und das Volumen eines 6 cm hohen senkrechten Prismas, dessen Grundflächen ein regelmäßiges n-eck mit der Seitenlänge cm ist, wobei a) n = b) n = 6 c) n = 8 Aufgabe Ein senkrechtes Prisma mit der Höhe a hat gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a als Grundseiten. Berechne das Volumen und den berflächeninhalt eines Körpers, der aus dem Prisma so hergestellt wird: a) Man zeichnet auf die Grundflächen ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a, das die gleichen Symmetrieachsen wie die Grundfläche hat. Dann entfernt man das innere Prisma. b) Man zeichnet auf zwei Mantelquadrate je ein a Quadrat der Seitenlänge ;. das die gleichen Symmetrieachsen wie das Mantelquadrat hat. Dann entfernt man innere Prisma. Aufgabe Vervollständige die folgende Tabelle für eine regelmäßige -seitige Pyramide: a, cm,8 cm 6, m h, cm, dm,5 cm 5,6 cm s 7, cm G M V m, dm Aufgabe 5 Vervollständige die folgende Tabelle für eine regelmäßige -seitige Pyramide: a,5 cm,7 cm 6, m h, cm, cm, dm s,5 cm 5,6 cm G M V m, dm

2 Aufgabe 6 Vervollständige die folgende Tabelle für eine regelmäßige 6-seitige Pyramide: a,0 cm,5 cm 6, m h,0 cm,5 cm, dm s 5,5 cm,0 cm G M V m, dm Aufgabe 7 Berechne den Dachraum und die berfläche der abgebildeten Dächer; alle Maße sind in m und auf 0,05 m genau. Aufgabe 8 Eine regelmäßige -seitige Pyramide der Höhe,0 cm und der Grundkantenlänge,5 cm wird in einer Höhe von,5 cm parallel zur Grundfläche durchgeschnitten. Bestimme das Volumen und die berfläche des Pyramidenstumpfes mit Hilfe einer Skizze. Hinweis. Verwende eine zentrische Streckung. Aufgabe 9 a) Eine -seitige Pyramide mit gleich langen Kanten heißt Tetraeder. Bestimme Volumen und berfläche eines Tetraeders der Kantenlänge a. b) Ein Körper, dessen berfläche aus 8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken besteht, heißt ktaeder. Bestimme Volumen und berfläche eines ktaeders, dessen Kanten die Länge a haben. Aufgabe 0 In welcher Höhe muss man eine Pyramide parallel zur Grundfläche durchschneiden, um ihren Rauminhalt zu halbieren? Aufgabe Ein Hohlkörper von der Form einer regelmäßigen - seitigen Pyramide mit Grundkante und Höhe a wird, wenn die Spitze unten ist, bis zur Höhe a mit Wasser gefüllt und dann die Spitze nach oben gedreht. a) Wie hoch steht das Wasser dann in dem Hohlkörper? b) Was ergibt sich in a), wenn der Hohlkörper die Form einer dreiseitigen Pyramide hat? Aufgabe Ein Hohlkörper von der Form einer regelmäßigen - seitigen Pyramide mit der Grundkante a und der Höhe a wird, wenn die Spitze unten ist, vollständig mit Wasser gefüllt. Dann wird das Wasser in eine regelmäßige 6-seitige Pyramide mit gleicher Grundkantenlänge a und gleicher Höhe a gegossen. Wie hoch steht das Wasser in dieser Pyramide, wenn die Spitze unten (oben) ist?

3 Aufgabe Vervollständige die folgende Tabelle für einen Zylinder mit Radius r und Höhe h: r 5, cm h 0,5 dm,5 cm G 8 m 7 cm M 7 cm V 98 cm dm 5 m 6 cm Aufgabe a) Eine Rolle von, mm dickem Eisendraht mit einer Dichte von ρ = 7,85 g/cm hat eine Masse von m =,5 kg. Wie lang ist der Draht? b) Aus g Gold mit einer Dichte ρ = 9, g/cm kann eine 000 m langer Draht gezogen werden. Wie dick ist der Draht? c) Eine Thermometerröhre wird durch 88 mg Quecksilber der Dichte ρ =,6 g/cm bei Raumtemperatur 60 cm hoch gefüllt. Welchen Durchmesser hat die Röhre? Aufgabe 5 Berechne Die berfläche und das Volumen der rechts abgebildeten Körper Aufgabe 6 Aus einem Zylinder mit Radius r und Höhe h wird ein Zylinder mit Radius r 0 und gleicher Höhe h so herausgebohrt, dass der herausgebohrte Zylinder und der Restkörper gleich große berflächen besitzen. Bestimme den Radius r o a) für h = 8 r. b) für beliebiges h. Aufgabe 7 Vervollständige die folgende Tabelle für einen Kegel mit Radius r, Höhe h und Mantelhöhe s: r,7 cm,5 m,8 m h, cm 0 cm,5 cm,6 cm s,9 m 5 cm G cm M V, m cm Aufgabe 8 Ein kegelförmiger Messbecher soll 0,6 L fassen und innen 0 cm hoch sein. a) Welchen inneren Durchmesser muss er Messbecher oben haben? b) In welchem Abstand vom oberen Rand sind die Marken für 0, L und 0, L anzubringen? Aufgabe 9 Ein Kegel mit dem Grindkreis 6 cm und der Höhe 8 cm wird auf der Höhe cm parallel zur Bodenfläche abgeschnitten. Berechne die berfläche und das Volumen des dabei entstandenen Kegelstumpfes. Aufgabe 0 Berechne die berfläche und das Volumen der rechts abgebildeten Drehkörper in Abhängigkeit von a:

4 Aufgabe In welcher Höhe h 0 über der Grundfläche muss man einen Kegel anschneiden, um a) sein Volumen b) seine berfläche c) seine Mantelfläche zu halbieren? h Aufgabe Ein Kegel mit der Höhe h und dem Radius r wird mit dem Radius r 0 = r entlang der Mittelachse ausgebohrt. Wie viel Prozent seines Volumen gehen dabei verloren? Aufgabe a) Ein hohler Kegel hat innen den Grundkreisradius a und auch die Höhe a. Er wird, wenn die Spitze oben ist, bis zur Höhe a mit Wasser gefüllt. Dann dreht man die Spitze nach unten. Wie hoch steht nun das Wasser in dem Kegel? b) Was ergibt sich in a), wenn der Kegel bei gleicher Höhe den Durchmesser a hat? Aufgabe Die Gläser I, II, III und IV haben innen die angegebenen Maße. a) Zeige, dass I dasselbe Volumen wie die anderen Gläser zusammen besitzt. b) Glas wird zu gefüllt. Mit dieser Menge wird Glas ganz gefüllt und der Rest in Glas gegossen. Wie hoch steht die Flüssigkeit in Glas I? c) Glas III wird halb gefüllt. Diese Menge wird je zur Hälfte in die Gläser II und IV gegossen. Wie hoch stehen die Flüssigkeiten in diesen Gläsern? r 0 r Aufgabe 5 Schätze und berechne die Masse einer Kugel mit 0 cm Durchmesser aus a) Kork der Dichte 0,5 g/cm b) Granit der Dichte,8 g/cm c) Gold der Dichte 9, g/cm. Aufgabe 6 Welche Durchmesser und welche berfläche hat eine 0 kg schwere Kugel aus a) Kork der Dichte 0,5 g/cm b) Granit der Dichte,8 g/cm c) Gold der Dichte 9, g/cm. Aufgabe 7 Bei den gezeichneten Geräten ist der obere Körper ganz mit Wasser gefüllt; dann wird der Hahn H geöffnet. Wie hoch über P steht das Wasser im oberen Körper, wenn die untere Kugel halb gefüllt ist`? Aufgabe 8 Berechne die Wandstärke einer Hohlkugel a) aus Kupfer mit der Dichte 8,9 g/cm wenn ihr Durchmesser cm und ihre Masse 9, kg ist. b) aus Glas mit der Dichte,5 g/cm wenn ihr Durchmesser 9,6 cm und ihre Masse,5 g ist.

5 .0. Lösungen zu den Aufgaben zu Körperberechnungen Aufgabe a, cm 7,8 cm 5 dm 0,5 mm, dm 9 dm cm b 5,5 m,5 cm,5 cm, cm 0, m 6 dm cm c,5 dm,0 cm,6 dm,5 mm 0,5 dm 6 dm cm V 58 dm 5, cm,5 dm 9,0 mm,8 dm 6 dm cm, m 79 cm,7 m 9,5 mm 6,6 dm 8 dm 0 cm Aufgabe Für alle ist s = cm und h = 6 cm a) G = s 0, cm und M = s h = 8 cm = G+ M 8,87 cm und V = G h,60 cm. b) G = 6 s,60 cm und M = 6 s h = 6 cm = G+ M,0 cm und V = G h 5,59 cm. c) G = (s + s) s = ( + )s,8 cm und M = 8 s h = 8 cm = G+ M 57,66 cm und V = G h 8,97 cm. s s Aufgabe a) V = 6 a 0,5 a und A = 9 8 a. b) V = 9 a 0,85 a und A = 8 9 a. Aufgabe a, cm 7, cm,8 cm 6, m, dm h, cm, cm 6, cm, m, dm,5 cm 5,6 cm 6,8 cm, m,7 dm s,8 cm 6,7 cm 7, cm 5,5 m,9 dm G 0,6 cm 6, cm 6 cm m 5, dm M, cm 8 cm 65 cm 57 m dm cm 7,6 cm 88 cm 98 m 7 dm V cm 77 cm 9 cm m, dm Aufgabe 5 a,5 cm,7 cm 5, cm 6, m, dm h,7 cm, cm, cm, dm, dm,9 cm, cm,9 cm,0 dm,6 dm s,5 cm,5 cm 5,6 cm, m, dm G 9,7 cm, cm,8 cm 8 m 5, dm M 6, cm 7, cm 8, cm 9 m, dm 5 cm 0,6 cm 50 cm 7 m 8,5 dm V cm, cm 6, cm m, dm Aufgabe 6 a,0 cm,5 cm, cm 6, m, dm h,6 cm,0 cm,5 cm, m, dm 5, cm 5,0 cm,7 cm 5,7 m,7 dm s 5,5 cm 5, cm,0 cm 6,5 m,8 dm G cm cm 5 cm 0 m 5, dm M 8 cm 5 cm cm 0 m dm 7 cm 85 cm 59 cm 0 m 6 dm V 5,9 cm cm cm m, dm 5

6 Aufgabe 7 Zeltdach: = 87 m und V = 56 m. Walmdach: = m und V = 7 m. Krüppelwalmdach: = 7 m und V = m. Gekreuztes Giebeldach: = 06 m und V = 556 m Aufgabe 8 Streckfaktor k = V kegel = 7 cm,5 = 8, Kegel = 6,5 cm und Kegelstumpf = ( k ) Kegel = 59 cm V Kegelstumpf = ( k ) V Kegel = 6 cm Aufgabe 9 Tetraeder: h = ktaeder: h = Aufgabe 0 a, G = a = a und V = a. a, G = a = a und V = a. Ansatz V = 0,5 V k V = 0,5 V k = 0, 5 Schnitt auf der Höhe ( - 0, 5 )h 0,06 h. Aufgabe a' V Wasser = V Pyramide V Luft = ( )V Pyramide = V Pyramide Höhe der Luftpyramide a = 9 a a Füllhöhe des Wassers ( - 9 )a 0, a unabhängig von der Form der Pyramide! Aufgabe Mit V Wasser = a und V Pyramide = a erhält man aus der Gleichung V Wasser = a die Höhe der Wasserpyramide a = = ( )a aus der Gleichung V Luft = a' a V Pyramide a = a,5 a. Dreht man die Pyramide um, so erhält man mit V Luft a '' a V Pyramide ( )a = Luftpyramide a = a und die Füllhöhe des Wassers ( ) a 0,0 a. a '' a a' a a der Höhe der Aufgabe r 5, cm, dm,0 m,8 cm,8 cm, cm 0,5 dm,6 m 6, cm,5 cm G 85 cm,7 dm 8 m 9,9 cm 7 cm M 8 cm, dm 0 m 7 cm 0 cm 0 cm dm 86 m 9 cm 50 cm V 98 cm dm 5 m 6 cm 5 cm Aufgabe a) d = 80 m b) d = 0,06 mm c) d = 0, mm 6

7 Aufgabe 5 Körper I: = ( π + 5)a 0,9 a 5 und V = π a 5,89 a. 5 Körper II: = (π + )a,8 a und V = (π + 6) a 5, a. 5 Körper III: = ( π + 8)a 09 a 7 und V = ( π + 6) a 8, a. Körper IV: = ( Aufgabe 6 a) r 0 = r + )π a 8,8 a und V = ( - 6 )π a,9 a. b) r 0 = rh r ; wegen r 0 < r muss h < r sein. Aufgabe 7 r,7 cm,5 m 5 cm,8 m,0 cm, cm h, cm,6 m 0 cm 0,9 m,5 cm,6 cm s 5,0 cm,9 m 5 cm,0 m,9 cm, cm G cm 7 m 7 dm 0, m 9 cm cm M cm 8 m dm, m 7 cm 8 cm 65 cm 5 m 9 dm,5 m 66 cm cm V cm 8,5 m,7 dm, m cm 7 cm Aufgabe cm = πr 0 cm r 7,57 cm. Mit 00 cm = h' h 600 cm erhält man für die Höhe der 00 ml- Pyramide h = h 8,7 cm Markierung im Abstand,6 cm vom oberen Rand und entsprechend aus der Höhe der 00 ml-pyramide h = h 6,9 cm den Abstand,07 cm vom oberen Rand. Aufgabe 9 M = 95 6 πcm 8 dm, = 50 π cm 0 dm und V = π cm 0, dm. Aufgabe 0 Körper I: = ( )π a a und V = 60 πa 7 a. Körper II: = ( )π a a und V = 8 πa 60 a. Aufgabe a) h 0 = ( ) h 0, h b) h 0 = ( ) h 0,9 h c) h 0 = ( ) h 0,9 h (vgl. b)!) Aufgabe Mit V Bohrung = π r h + π r h = 7 8 πr h und V Kegel = πr h erhält man V Bohrung V Kegel = 8 5,9 % 7

8 Aufgabe a) Mit V Kegel = πa und V Wasser = ( a = 7 a 0,96 a. b) Mit V Kegel = πa und V Wasser = ( Füllhöhe a = Aufgabe 7 a 0,96 a! )V Kegel = 7 πa erhält man aus V Wasser = )V Kegel = V I = πr h, V II = πr h, V III = 8r h und V IV = 6 πr h a) V I = V II + V III + V IV. b) Die Füllhöhe in Glas II ist h 0,79 h 7 96 πa erhält man aus V Wasser = a' a a' a V Kegel die Füllhöhe V Kegel wieder die c) Die Füllhöhen sind in Glas II h 0,7 h und in Glas IV h 0,5 h Aufgabe 5 V = 5,6 cm a) m Kork = 8, g b) m Granit =,5 kg c) m Gold = 0, kg Aufgabe 6 a) d 8 cm und 5 dm b) d 9 cm und dm c) d 0 cm und =, dm Aufgabe 7 links: h = 75 r + r 6, r, mitte: h = 9 6 Aufgabe 8 a) Wandstärke 5,9 mm b) Wandstärke 0,0 mm r,8r, rechts: h = 5 r + r,8r. 8