Seiten 4 / 5 Beschriften von Prismen und ihren Netzen 1 a) b) Tipps: Beachte die Kantenverläufe:

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1 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 1 Seiten 4 / 5 eschriften von Prismen und ihren Netzen 1 a) b) Tipps: eachte die Kantenverläufe: von aus: in der Grundseite zu und in der Höhe zu usw. So kannst du die Möglichkeiten austesten und du kommst immer auf die richtige Lösung. a) b) c)

2 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seite 7 Schnittkanten und Schnittflächen einzeichnen 1. Tipps: Zuerst eschriftung vervollständigen. Schnittfläche im Raumbild einzeichnen (chtung, Sichtbarkeit!) Q ins Netz übertragen (bmessen mit Zirkel hellblauer Kreis) R auf die zweite Kante übertragen (hellgrüner Kreisbogen) Punkte in den entsprechenden Seitenflächen miteinander verbinden.. Tipps: Im Raumbild eine Senkrechte (LOT) auf durch Q. So entsteht S. anach durch Parallelverschieben von QR durch S die Schnittfläche vervollständigen. anach weiter wie unter 1a). Tipps: ie Punkte P und R im Netz auf allen entsprechenden Kanten einzeichnen Punkte P, Q, R im Raumbild (Kantenmitten) einzeichnen. Schnittfläche im Raumbild einzeichnen Schnittfläche ins Netz übertragen. LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite

3 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seite 9 erechnungen in Prismen, Quadern und Schnittkörpern 1 Tipps: a) b) c) d) e) 1a) 1 M u h (5+4+) cm 18 cm 6 cm 1 cm 5s 4 cm 1 cm 1 cm 5 cm s 1 b) M u h, also h M : u 950:(18+1+8) 950 : 8 5 cm 8 cm 105 cm 1 cm 7s h 10 cm 5 cm 1 cm 10 cm 7s M 110cm 950cm 178cm 500 cm 98s 1c) M u h, also u M : h 178 : ( Umfang) u a + b + c, also c u ( a + b) 144 (1+6) d) M u h, also u M : h 500:10 50 u u a+b+c, also b u (a+c) 50 (1+1) e) M u h, also h M : u 98s : (7s+s+5s) 98s : (14s) 7s Rechenschritte: a) b) c) d) e) a) G : 5 14: 5 V G h cm 5 cm 8 cm 6 cm 10t S G + M, also M S G 14 cm cm 6 cm 10 cm 15t h cm 8 cm 8 cm 16cm 6t G 5 cm 80 cm 4 cm 0 cm 75 t M 10cm 40cm 19 cm 440 cm 600 t S 80 cm 400 cm 40 cm 500 cm 750 t V 110cm 640 cm 19 cm 480 cm 450 t b) V G h, also G V : h 640 : 8 80 G :, also G : 80 : 5 S G + M c) G : 6 8: 4 S G + M V G h d) V G h, also G V : h 480 : 16 0 S G + M, also M S - G G :, also G : 0 : 8 60 : e) G : 10t 15t : 75t S G+M 75t + 600t 750t V G h 75t 6t 450t LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite

4 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seiten 9 / 10 erechnungen in Prismen, Quadern und Schnittkörpern Rechenschritte: rechtwinklig gleichschenkliges reieck Somit ist die Höhe 10: 5m 6 m Lösungen: 5m h 10 m 1 m a) V Haus 1785 m b) V achgeschoss 55 m c) Höhe des Kellergeschosses 1.7m a) as Haus entspricht einem vierseitigen Prisma mit der Höhe 1m (as Prisma liegt also). ie Grundfläche wird aufgeteilt in ein Rechteck und ein rechtwinklig-gleichschenkliges reieck. as Volumen wird entsprechend berechnet: V G h (Rechteck + reieck) h ( : ) 1 (60 + 5) m b) er achstock ist ein dreiseitiges Prisma mit einem rechtwinklig gleichschenkligen reieck als Grundfläche. Somit wird das Volumen berechnet als: V G h (10 5 : ) m c) as Kellergeschoss hat ein Volumen von einem ünftel des ganzen Hauses. Somit ist sein Volumen 1785 : 5 57 m. as Kellergeschoss ist aber ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche und einer Prismenhöhe von 1m. Somit hat die Grundfläche eine läche von 57 : 1 17m iese Grundfläche ist 10m breit, somit beträgt die Höhe h 17 : m 4 Rechenschritte: läche des gelben Rechtecks: 10 0 cm 10 cm er Schnittkörper ist ein Prisma mit einer viereckigen Grundfläche. iese wird in ein Rechteck und ein reieck zerlegt. as reieck hat dabei eine Höhe von cm (wie eingezeichnet). ie Prismenhöhe beträgt 7cm. 7 cm 6 cm läche des roten reiecks: Grundseite Höhe : 10 : 15 cm läche der Grundseite: Rechteck + reieck cm Volumen des Restkörpers ( Prisma): V Restkörper G h V Restkörper 45 7 V Restkörper 15 cm VRestkörper G h 15 cm LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 4

5 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seiten 10 / 11 erechnungen in Prismen, Quadern und Schnittkörpern 5 Rechenschritte: Volumen des ursprünglichen Quaders: 4 cm V cm cm 5 cm M4 4 cm 6 cm Volumen des gelben Prismas: Grundfläche M1M 5 4 : 10 cm Volumen V G h 10 0 cm M7 10 cm Volumen des grünen Prismas: Grundfläche M : 0 cm Volumen V G h cm 8 cm er Schnittkörper ist durch herausschneiden der beiden markierten Prismen aus dem ursprünglichen Quader entstanden. Somit können wir die erechnung durch Subtraktion durchführen: Volumen des Restkörpers: V Restkörper V Quader V Prisma gelb V Prisma grün V Restkörper V Restkörper 0 cm VRestkörper VQuader VPrisma gelb VPrisma grün 0 cm 6 a) b) 7 a) von vorne von rechts von oben b) von vorne von rechts von oben c) LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 5

6 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide 1 Seite 15 / 16 ufgaben ie gerade Pyramide h V a).5 cm. cm 6cm.4 cm b) 4 cm 1 cm 5.5cm 468 cm c) 5 dm 1.4 dm 9 dm dm d) 7.0 m 7.0 m 4. m m e) d 4e 9f 6def f) 4a 4a 6a 115a ie verwendeten ormeln entsprechen denjenigen, die im Theorieteil des ossier angegeben sind. itte dort nachschauen. Wird das Volumen verwendet, muss es zuerst mal gerechnet werden! V G h, also V cm ür die Oberfläche rechnen wir zuerst mit Pythagoras die Höhe h aus (Höhe des Seitendreiecks S. in der quadratischen Pyramide ist dies die einzige benötigte Höhe für den Mantel. lso: h HM +HS cm amit ist die Seitenfläche S h cm Und dies heisst, dass der Mantel 4 S cm 4.08 cm Und somit ist die Oberfläche S G + S cm a) ie Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist 46.4 cm. amit ist die Kantenlänge dieses Quadrates a cm. ie Oberfläche beträgt 1.4 cm, womit der Mantel M cm gross ist. h V cm S cm h M lso ist eine Seitenfläche (ein Seitendreieck) cm gross. M ie Höhe des Seitendreieckes ist also läche Grundseite cm. Mit Pythagoras können wir jetzt die Pyramidenhöhe berechnen: h SM HM cm. h 4.45 cm V cm lso ist das Volumen der Pyramide V G h cm 4 a) ie Grundfläche des Tetraeders ist ein gleichseitiges reieck. Gemäss unseren früheren Pythagoras-Überlegungen ist die Höhe im gleichseitigen reieck h s lso ist die Grundfläche. In unserem all also cm Grundseite Höhe cm ies ist gleichzeitig die läche jeder Seitenfläche. ie Oberfläche des Tetraeders ist also cm S 17.1 cm LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 6

7 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seite 16 / 17 ufgaben ie gerade Pyramide 5 a) In dieser igur brauchen wir zwei ormeln aus dem Pythagoras-ereich: 1. iagonale im Quadrat (d 5 ). Höhe im gleichseitigen reieck: h s ie Grundseite dieser Pyramide ist das reieck G. ies ist zum erechnen besonders einfach. V G h a a, wobei die Grundseite G, also V a a cm mit Zahlen: V 10 b) ie erechnung der Oberfläche ist etwas schwieriger. abei setzt sie sich zusammen aus den vier reiecksflächen. ie reiecke G, HG und GH sind dabei kongruent und einfach zu berechnen: G GH GH a as reieck H dagegen ist gleichseitig und zwar mit der Seitenlänge s a. Somit ist die Höhe dieses reiecks H h s Und dies führt und zur läche des reiecks H: Grundseite Höhe H a a 6 a a 6 H a 1 a 4 a a ie gesamte Oberfläche ist also S a + a a +a a ( + ) 6 a) Mit Zahlen gerechnet S 10 ( + ) 100( + ) 6.60 cm as Volumen einer Pyramide ist ja bekanntlich V G h In unserem all ist G Seitenfläche des Würfels (Quadratfläche) a ie Höhe ist nicht bekannt. ekannt ist aber, dass das Volumen des Körpers um drei Viertel des Würfelvolumens vergrössert wird. lso entsprechen alle sechs aufgesetzten Pyramiden diesen drei Vierteln des Würfelvolumens. ls Gleichung ufgelöst ergibt diese Gleichung: 4 a 6 a h a 4 6a h v a 4 a h HN (4) a 8a h : 8a a 8 h ie Pyramiden haben also eine Höhe von h a 8 LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 7

8 Lösungen Geometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide Seite 17 ufgaben ie gerade Pyramide 7 a) b) 8 a) von vorne von rechts von oben b) von vorne von rechts von oben LoesungenGeometrie-ossier 4 - Prisma und Pyramide.docx. Räz / Seite 8