Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10

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1 Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist die Mantisse, e der Exponent. Jede Gleitkommazahl lässt sich in dieser Form darstellen. Das ist Voraussetzung für die Umwandlung in eine dem IEEE-Standard 754 entsprechenden Gleitkommazahl. Während die Basis 10 dem Dezimalsystem entspricht, wird die Basis 2 für das Binärsystem verwendet. Die Gleitkommazahl muss in der wissenschaftlichen Darstellungsform vorliegen Basis der wissenschaftlichen Schreibweise ist die 2 (Binärsystem) Evtl. Konvertierung in weitere Zahlensysteme (z.b. Oktal- oder Hexadezimalsystem) erfolgt nach der Konvertierung der Zahl ins binären Format Beispiel: (als hexadezimale Gleitkommazahl im IEEE-754-Standard) 1. Darstellung in der wissenschaftlichen Schreibweise Es geht um x = Die Zahl lässt sich als x = a * 2 b darstellen. Ist x >= 2, so muss durch eine positive Zweierpotenz dividiert werden (z.b. 2 2 ). Ist x < 1, so wird x durch eine negative Zweierpotenz dividiert (z.b. 2-2 ). Das Ziel ist es, eine Zahl a zwischen 1 und 2 zu erhalten. Den Exponenten 2 b erfährt man durch Ausprobieren und Einsetzen: / 2 2 = (bzw = * 2 2 ) 2. Vorzeichen bestimmen Eine positive Zahl erhält das sign Bit 0, eine negative Zahl das sign Bit Exponent bestimmen Gemäss dem IEEE-Standard 754 verwendet der Exponent einen Überschuss (Excess) von 127 Stellen bei einfacher und einen Überschuss von 1023 Stellen bei doppelter Genauigkeit. Diese 127 Stellen werden zum Exponenten dazu addiert. Anschliessend erfolgt die Konvertierung ins Binärformat. Ist der Exponent kleiner 128, zum Beispiel durch einen negativen Exponenten (127 + (-3) = 124), erhält man eine 7-stellige Binärzahl. Die Zahl wird dann um ein Bit mit einer Null zu einer 8-stelligen Binärzahl ergänzt = * 2 2 Exponent = = = Mantisse bestimmen Der IEEE-Standard 754 nimmt die Eins an erster Stelle der Mantisse implizit an. Sie wird daher weggelassen, resp. die Mantisse wird mit eins subtrahiert. Der weitere Algorithmus arbeitet nach einem festen Schema. Die Mantisse (f < 1) wird mit zwei multipliziert. Ist das Resultat kleiner eins, wird eine Null notiert und mit demselben Schritt (resp. mit der nächsten Multiplikation mit zwei) fortgefahren. Ist das Resultat grösser gleich eins, wird eine Eins notiert und eine Eins von der Mantisse subtrahiert. Anschliessend fährt man mit der Multiplikation mit zwei fort. Dies solange, bis alle Bits der Mantisse berechnet sind. Christian Wuillemin Oktober 2010, v1.3 Seite 1/5

2 6.125 = * Schritt: Subtraktion von eins: f -1 = Schritt: Algorithmus, um 23 (single precision) resp. 52 (double precision) Bits zu füllen. Berechnung Resultat Kontrolle und Subtraktion Mantisse * Grösser gleich Eins, f * Kleiner Eins, f unverändert * Kleiner Eins, f unverändert * Kleiner Eins, f unverändert * Grösser gleich Eins, f * Kleiner Eins, f unverändert 0 In diesem Beispiel ergibt sich nach dem fünften Durchlauf die Mantisse 0. Alle weiteren Bits werden daher mit Null gefüllt. Die Mantisse wird von oben nach unten gelesen (hier: ). Der IEEE-Standard 754 definiert Gleitkommazahlen im single precision (32 Bit) und double precision (64 Bit) Format. In beiden Fällen entfällt ein Bit auf das Vorzeichen (sign Bit). 8 resp. 11 Bits dienen der Darstellung des Exponenten, 23 resp. 52 der Darstellung der Mantisse. Für das single precision- Format ergibt sich folgende Speicherplatzverwaltung: sign Bit Exponent Mantisse Der letzte Schritt zur Darstellung der Dezimalzahl im IEEE-Standard 754 als Gleitkommazahl (im Binärformat) besteht darin, die Resultate in den entsprechenden Feldern einzutragen = Konvertierungen Allfällig weitere Konvertierungen können nun bequem vorgenommen werden, z.b. die Konvertierung ins Hexadezimalsystem. Dazu werden, am Ende der Zahl beginnend, Vierergruppen gebildet und gruppenweise ins Hexadezimalsystem konvertiert C = = 40C (nach IEEE 754) Christian Wuillemin Oktober 2010, v1.3 Seite 2/5

3 Berechnung von Dezimalzahlen aus Gleitkommazahlen Das Vorgehen entspricht dem Gegenteil des oben vorgestellten Konvertierens von Dezimalzahlen in Gleitkommazahlen. Als Beispiel sei x =42E48000H Konvertierung ins Binärformat Eine hexadezimale Ziffer bildet vier Stellen der binären Ziffer. 4 2 E sign Bit Exponent Mantisse 2. Vorzeichen bestimmen Eine positive Zahl erhält das sign Bit 0, eine negative Zahl das sign Bit Ganzzahl bestimmen Der Exponent ergibt sich aus der Konvertierung der Binärzahl in eine Dezimalzahl. Aufgrund des excess bei Gleitkommazahlen im IEEE-Standard 754 muss man 127 resp subtrahieren. Exponent = = 1*2 + 1*4 + 1*128 = = 6 10 Die Eins vor dem Komma der Gleitkommazahl wird beim IEEE-Standard 754 implizit angenommen und deshalb nicht gespeichert. Bei der Rückrechnung muss diese wieder addiert werden. Es ergibt sich die Zahl (aus den Bits der Mantisse): ( 1. ist neu) Das Komma wird nach rechts geschoben. Die Anzahl Stellen ergibt sich aus dem Exponenten (hier also 6): Die Ganzzahl ergibt sich aus der Konvertierung der Stellen vor dem Komma ins Dezimalsystem. Die Stellen nach dem Komma ergeben im nächsten Schritt die Kommastellen = = Kommastellen bestimmen Die Bestimmung der Kommastellen geschieht über die Addition der vorhandenen negativen Zweierpotenzen. Jede Zweierpotenz, an deren Stelle die Binärzahl eine Eins aufweist, wird addiert. Basis ist der in Schritt 3 berechnete Bitstring nach dem Komma Christian Wuillemin Oktober 2010, v1.3 Seite 3/5

4 Kommastellen = 0* * * * * 2-5 = 2-2 = 0.25 Die Zahl ergibt sich aus dem Vorzeichen +/- 1 * Ganzzahl.Kommastellen 42E48000H 16 = 1 * = B) Aufgaben zu den Gleitkommazahlen 1. IEEE-754-Gleitkommazahlen ins Hexadezimalsystem a) Ausführliches Beispiel Schritt: Wissenschaftliche Darstellung 9.0 = * 2 3 (da 9.0 / 2 3 = 1.125; 1 < < 2) 2. Schritt: Vorzeichen 0, da 9.0 > 0 3. Schritt: Exponent = = Schritt: Mantisse = * 2 = 0.25 < 1 => * 2 = 0.5 < 1 => * 2 = 1.0 >= 1 => * 2 = 0 < 1 => 0 Mantisse = Konvertierung = = b) 5/32 10 = = = 3E c) -5/32 10 = = = BE Christian Wuillemin Oktober 2010, v1.3 Seite 4/5

5 2. Hexadezimalzahlen in IEEE-754-Gleitkommazahlen im Dezimalformat b) Ausführliches Beispiel 3F880000H 1. Schritt: Konvertierung ins Binärformat 3 F Schritt: Vorzeichen Das erste Bit ist eine Null, d.h. es handelt sich um eine positive Zahl. 3. Schritt: Ganzzahl bestimmen Zunächst wird der Exponent bestimmt. Er ergibt sich aus den acht ersten Stellen der Zahl exkl. dem sign Bit = = Aufgrund des Excess von 127 Stellen im IEEE-754 single precision- Format müssen vom Exponenten 127 subtrahiert werden. Der Exponent ist also = 0. Da die Eins vor dem Komma implizit angenommen und daher nicht gespeichert wird, muss man diese nun hinzufügen. Die 23 letzten Bits der Zahl (32 1 sign Bit 8 Bit Exponent) werden um die Eins vor dem Komma ergänzt: Der Exponent gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts geschoben werden muss. Da dieser Null ist, bleibt die obige Zahl unverändert. Die Zahl vor und die Zahl nach dem Komma werden nun getrennt in Dezimalzahlen überführt. 1 2 = Schritt: Kommastellen bestimmen Die Kommastellen werden in negative Zweierpotenzen überführt und addiert = 0 * * * * * * 2-6 = 2-4 = Schritt: Zusammentragen der Resultate 3F = (+1) * = c) = d) C7F = Christian Wuillemin Oktober 2010, v1.3 Seite 5/5