Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN

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1 ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden Gesetzen führen. Dazu stellen wir uns die Bedeutung von Vor- und Rechenzeichen graphisch auf der Zahlengerade dar. a) Was bedeutet nun (+2) + (+3) = 1) Addieren Die erste Zahl (+2) können wir als den Anfangspunkt unserer Berechnungen auffassen. Das Rechenzeichen + interpretieren wir als gehe in Richtung. Der Wert der zweiten Zahl 3 gibt an, wie viel wir in diese Richtung gehen sollen. Das Vorzeichen der zweiten Zahl + gibt an in welche Richtung wir gehen müssen. Graphisch interpretieren wir die Rechnung (+2)+(+3)= +5 also folgendermaßen: Gehe von +2 3 Einheiten in Richtung der positiven Zahlen. Von den natürlichen Zahlen her wissen wir, dass wir zu demselben Ergebnis auch gekommen wären wenn wir 2+3 gerechnet hätten. Der Rechnung (+2) + (+3) entspricht also 2+3. Dem Rechenzeichen + mit folgendem Vorzeichen + entspricht also ein einziges Rechenzeichen +. Merke: + vor + ergibt + (Sprich: Plus vor Plus ergibt Plus) b) Was bedeutet (+2) + (-3) = Mit obiger Interpretation bedeutet diese Rechnung Folgendes: 1

2 Gehe von +2 3 Einheiten in Richtung der negativen Zahlen. Graphisch dargestellt sieht dies folgendermaßen aus: Wir erhalten also: (+2) + (-3) = -1 Wir erkennen, dass wir statt dessen auch 2-3 hätten rechnen können. Das Rechenzeichen + mit nachfolgendem Vorzeichen - ist also gleichbedeutend mit dem Rechenzeichen - Merke: + vor - ergibt - (Sprich: Plus vor MINUS ergibt Minus) Beispiel: REICHEL 3; Seite 20; Nr. 51 a Rechnung Erklärungen (-9) + (+3) + (-2) + (+5) = Vor der ersten Zahl -9 steht kein Rechenzeichen. Man kann sich aber ein + davor denken = -3 Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 41 bis 42 a) Was bedeutet (+2) - (+3) = 2. Subtrahieren Um dies folgerichtig zur Addition zu interpretieren, müssen wir uns lediglich bewusst werden, dass Addition und Subtraktion entgegengesetzte Rechenoperationen sind. Dies bedeutet nur, dass die Subtraktion das Gegenteil einer Addition bewirkt. Wenn also das Rechenzeichen + bedeutet hat Gehe in Richtung, muss das Rechenzeichen - folglich bedeuten: Gehe entgegen der Richtung. Wir können die Rechnung (+2) - (+3) folglich graphisch folgendermaßen interpretieren: Gehe von +2 3 Einheiten entgegen der Richtung der postiven Zahlen. Entgegen der Richtung der positiven Zahlen bedeutet aber in Richtung der negativen Zahlen, und wir erhalten folgende Darstellung: 2

3 Wir hätten also statt (+2) - (+3) auch 2-3 rechnen können. Das Rechenzeichen - mit nachfolgendem Vorzeichen + ist also gleichbedeutend mit einem Rechenzeichen -. Merke: - vor + ergibt - (Sprich: Minus vor Plus ergibt Minus) b) Was bedeutet (+2) - (-3)= Nach obiger Interpretation erhalten wir folgendes: Gehe von (+2) 3 Einheiten entgegen der Richtung der negativen Zahlen. Entgegen der negativen Zahlen ist aber gleichbedeutend mit in Richtung der positiven Zahlen, und wir erhalten folgende Darstellung: (+2) - (-3) ergibt also 5. Wir erkennen, dass wir auch rechnen hätten können. Da Rechenzeichen - mit nachfolgendem Vorzeichen - ist also gleichbedeutend mit dem Rechenzeichen +. Merke: - vor - ergibt + (Sprich: Minus vor Minus ergibt Plus) Beispiel: (+2) - (-4) - (+5) = (+2) - (-4) - (+5) = = 1 Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 43 bis 45 3

4 Zusammenfassend noch einmal diese Merkregeln: Satz: + vor + ergibt + + vor - ergibt - - vor + ergibt - - vor - ergibt + 3. Multiplikation Was passiert, wenn ich positive und negative Zahlen in beliebiger Reihenfolge multipliziere? Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir uns lediglich die Multiplikation genauer überlegen: Wir rechnen zum Beispiel 3*2. Die Rechenoperation *2 ist ja in Wirklichkeit nur eine versteckte Addition. Der Rechenbefehl bedeutet ja nur, dass ich die Zahl 3 zweimal mit sich selbst addieren soll. Ich muss also rechnen. Wenn aber die Multiplikation eigentlich nur eine Addition ist, müssen dieselben Rechengesetze wie bei der Addition gelten.: Positive Zahl mal positive Zahl ergibt eine positive Zahl. Beispiel: (+2) * (+3) =+6 Positive Zahl mal negative Zahl ergibt eine negative Zahl. Beispiel: (+2) * (-3) =-6 Negative Zahl mal positive Zahl ergibt eine negative Zahl. Beispiel: (-2) * (+3) =-6 Negative Zahl mal negative Zahl ergibt eine positive Zahl. Beispiel: (-2) * (-3) =+6 Satz: + mal + ergibt + (Sprich: Plus mal Plus ergibt Plus) + mal - ergibt - (Sprich: Plus mal Minus ergibt Minus) - mal + ergibt - (Sprich: Minus mal Plus ergibt Minus) - mal - ergibt + (Sprich: Minus mal Minus ergibt Plus) Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 46 bis Division 4

5 Was passiert, wenn ich positive und negative Zahlen in beliebiger Reihenfolge dividiere? Dazu müssen wir uns lediglich bewusst werden, dass die Division die entgegengesetzte Rechenoperation zur Multiplikation ist. Wenn ich eine gegebene Zahl zum Beispiel mit 3 multipliziere und dann das Ergebnis durch 3 dividiere, so erhalte ich wieder die ursprüngliche Zahl. Wenn aber die beiden Rechenoperationen nur entgegengesetzt sind, so müssen für sie dieselben Rechengesetze gelten: Positive Zahl durch positive Zahl ergibt eine positive Zahl. Beispiel: (+6) : (+3) =+2 Positive Zahl durch negative Zahl ergibt eine negative Zahl. Beispiel: (+6) : (-3) =-2 Negative Zahl durch positive Zahl ergibt eine negative Zahl. Beispiel: (-6) : (+3) =-2 Negative Zahl durch negative Zahl ergibt eine positive Zahl. Beispiel: (-6) : (-3) =+2 Satz: + durch + ergibt + (Sprich: Plus durch Plus ergibt Plus) + durch - ergibt - (Sprich: Plus durch Minus ergibt Minus) - durch + ergibt - (Sprich: Minus durch Plus ergibt Minus) - durch - ergibt + (Sprich: Minus durch Minus ergibt Plus) Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben Verbindung der vier Grundrechnungsarten Unter den Rechnungsbefehlen gibt es eine hierarchische Ordnung. Multiplikationen und Divisionen sind wichtiger als Additionen und Subtraktionen. Deshalb müssen Multiplikationen und Divisionen (=Punktrechnungen) immer vor Additionen und Subtraktionen (Strichrechnungen) ausgeführt werden. Merke: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. 5

6 Beispiel: REICHEL 3; Seite 33 ; Nr. 126 a Rechnung Erklärung (+2) * (-3) + (-5) * (+4) - (-6) * ( -7) = Punkt- vor Strichrechnung (-6) + (-20) - (+42) = Gehe in Kurzschreibweise = -68 Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 51 bis 54 Öfters möchte man diese hierarchische Rechenstruktur aber auch durchbrechen. Beispiel: Addieren sie 3 und 4 und multiplizieren sie das Ergebnis mit 2. Würde man diese Rechnung einfach nur so hinschreiben erhielte man: * 2 = Aufgrund der hierarchischen Befehlsstruktur würde dies aber bedeuten, dass ich zunächst 4 mit 2 multiplizieren muss und zum Ergebnis 3 dazu addiere. Dies ist aber etwas anderes als die Angabe verlangt. Folglich muss ich kennzeichnen, dass 3 und 4 zuerst addiert werden müssen. Dies kennzeichnet man mittels Klammern: (3 + 4) * 2 = Nun muss man zuerst addieren. 7 * 2 = 14 Klammern kennzeichnen also Rechenausdrücke, die zuerst gerechnet werden müssen. Merke: Klammern werden zuerst gerechnet. Wenn mehrere Klammern ineinander verschachtelt vorkommen, so verwendet man neben den runden Klammern () gerne auch eckige Klammern [] oder geschwungene Klammern {} Beispiel: REICHEL 3; Seite 34; Nr. 137 a) Rechnung Erklärung [(-4)*(+3)-(+6)*(-2)]*(-8)= Die eckige Klammer wird zuerst gerechnet. Innerhalb der Klammer gilt: Punkt- vor Strichrechnung [(-12)-(-12)]*(-8)= In der eckigen Klammer gehen wir nun auf die Kurzschreibweise [-12+12]*(-8)= Klammer ausrechnen 0*(-8)=0 Jede Zahl mit 0 multipliziert ergibt Null 6

7 Anmerkung: Die runden Klammern um die Zahlenwerte könnte man eigentlich auch weglassen, da ja kein Rechenbefehl in der Klammer angegeben ist. Man sollte diese Klammern aber verwenden, um Schreibfehler zu vermeiden. Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben