LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 4. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler Department Biologie II Telefon: Großhaernerstr. Fax: Planegg-Martinsrie 4. Übung/Lösung Mathematik für Stuierene er Biologie Abgabe in en Tutorien. Die Aufgaben weren in en Tutorien vom 5. un 6. November besprochen. Aktuelle Infos un Übungszettel finen Sie unter: (Ableitungsregeln) [ P] Berechnen Sie unter Verwenung er Formel für ie Ableitung einer Umkehrfunktion ie erste Ableitung er folgenen Funktionen. (a) f(x) = ln( + e x ) (b) f(x) = arcosh(x), wobei arcosh(x) ie Umkehrfunktion von cosh(x) = ex +e x ist. Lösung: ( x f(x) = ) y f (y) (wobei y = f(x), x = f (y) un y f (y) 0). (a) f : R R +, bijektiv, y f (y) = ey e y f (x) = ex +e x (b) f : R R, bijektiv, y f (y) = ey e y = sinh(x) an cosh (x) sinh (x) = f (x) = x. (Umkehrfunktionen) [ P] (a) Wenn y = f(x) un f(x) = f( x), ist f (y) = f ( y)? D.h., ist ie Inverse auch eine ungerae Funktion? Was gilt für gerae Funktionen f(x),.h., wenn f(x) = f( x)? (b) Finen Sie ein Beispiel einer Funktion, für ie f (y) = f(y). Lösung: (a) Es ist zu zeigen, ass f (y) = f ( y) Durch Anwenung von f auf beien Seiten er Gleichung erhält man f(f (y)) =f( f (y)) y = f(f ( y)) y = ( y) = y urch Punktsymmetrie QED, (b) z.b. f(x) = x hat ie Inverse f (y) = y. Oer f(x) = π/x. Oer jee bijektive Funktion, ie ie Winkelhalbierene als spiegelsymmetrische Achse besitzt.

2 3. (Potenzreihen) Zeigen Sie, ass x cos(x) = sin(x) gilt, inem Sie ie Potenzreihe [ P] cos(x) = k=0 ( ) k xk ableiten un zeigen, ass ie abgeleitete Potenzreihe es cos(x) er negativen Potenzreihe es sin(x) entspricht. sin(x) = (k)! ( ) k x k+ (k + )! k=0 Lösung: x cos(x) = xk x k=0 ( )k (k)! = k=0 ( )k k xk (k)! = xk k= ( )k (k )! Substituieren mit n = k k = n + x cos(x) = xn+ ( )n+ (n+)! = xn+ ( )n (n+)! = sin(x) 4. (Extremwertproblem) [ P] Betrachten Sie achsenparallele Rechtecke mit em Ursprung (0, 0) als einen Eckpunkt un einem Punkt (x, y) als gegenüberliegenen Eckpunkt. Weiters sei y = f(x) = (x 3) +.5 x [0, 3] R. Zeichnen Sie ie Funktion f(x) in einer Skizze un tragen Sie ein achsenparalleles Rechteck ein, as ie angegeben Beingungen erfüllt! Berechnen Sie anschließen ie Fläche es Rechtecks für allgemeines x. Untersuchen Sie schließlich, für welchen Wert von x iese Fläche maximal ist. Lösung: Zeichnen wir zuerst ie Parabel g(x) = (x 3) +.5 un ein Rechteck: x x

3 Die Fläche es Rechtecks ist Höhe h = f(x) mal Breite x. F (x) =x [ (x 3) +.5 ] F (x) =x 3 6x +.5x F (x) =3x x +.5 F (x) =6x Um ein (mögliches) Extremum zu bestimmen, suchen wir zuerst nach Lösungen von F (x) = 0: Die quaratische Formel ergibt Eingesetzt in F (x): F (x) = 3x x +.5 = 0 x = ± = ± 6 ( F + / ) 6 = 6 > 0 x = + / 6 ist ein Minimum ( F / ) 6 = 6 < 0 x = / 6 ist ein Maximum Das minimale F = ( + / [ 6) ( + / ] 6) + 5/ = 7 3, wohingegen as maximale 6 F = ( / [ 6) ( / ] 6) + 5/ = Diese sin aber nur relative Maxima bzw. Minima. Der Definitionsbereich ist D = [0, 3], also schauen wir noch ie Funktionswerte für F (x) an en Ränern an: Wir haben F (0) = 0 F (3) = 3 [ (3 3) +.5 ] = 7.5 F (x relatives Maximum ) = < = < 7 + = F (3) Also erreicht F (x) en maximalen Wert am Ene es Definitionsbereichs, mit x = 3. Eine Zeichnung von F (x) veranschaulicht iesen Sachverhalt: (Extremwertproblem) Das Proukt zweier positiven Zahlen in R sei 7. minimal wir un geben Sie iese Summe an! [ P] Bestimmen Sie ie Zahlen so, aß ihre Summe

4 Lösung: Lösen wir as allgemeine Problem,.h. mit Zahlen x > 0 un y > 0, so aß x y = n un n > 0. D.h. y = n/x. Die Summe von x un y ist s(x, y) =x + y = x + n/x = s(x) s (x) = n/x s (x) = + n/x 3 Ein Minimum ist erreicht, wenn s (x) = 0 un s (x) > 0 s (x) = 0 n/x = 0 n = x Hieraus ergibt sich x = ± n Wir beschränken uns auf ie positive Lösung, also ist x = n Wir müssen nur noch s ( n) = +n/n 3 = n > 0 berechnen. Dies zeigt, ass s(x, y) bei x = n ein Minimum mit Wert n hat. Wenn ie Funktion konvex (bzw. konkav) auf em offenen Definitionsbereich (0, ) ist, ist as Minimum auch as globale Minimum. Wir haben s (x) = +n/x 3 > 0 für x > 0 un n > 0 Also ist as Minimum as globale Minimum. Nun können wir en numerischen Wert einsetzen. Mit n = 7 ist ie minimale Summe 7 = un ie Summanen sin x = y = 7 = (Taylorreihen) Berechnen Sie ie Taylorreihe um x 0 = 0 bis zur m-ten Ornung für ( ) + x (a) ln (b) x x (c) sin (x) 4 un zeigen Sie, aß iese Ausrücke näherungsweise mit en Taylorreihen von [6 P] (a) ln ( + x) ln ( x) (b) 4(x ) 4(x + ) (c) sin(x) sin(x) übereinstimmen. Lösung:

5 (a) Direkter Weg: f(x) = ln ( ) + x x f (x) = x ( x) + ( + x) + x ( x) f (x) = ( x)( + x) = x f 4x (x) = ( x ) f 4 (x) = ( x ) + 6x ( x ) 3 f (x) = 48x ( x ) x3 ( x ) 4 f 48 (x) = ( x ) x ( x ) x ( x ) x4 ( x ) 5 Für x = x 0 = 0 erhalten wir f(0) = 0 f (0) = f (0) = 0 f (0) = 4 f (0) = 0 f (0) = 48 un f(x) = x + x 3 /3 + x 5 /5 +. Konvergenz für < x < log x mit Taylorreihe. un 3. Ornung x Einfacher Weg: Wir betrachten ln ( ) + x = ln( + x) ln( x) x h(x) = ln( + x) h (x) =( + x) h (x) = ( + x) h (x) = ( + x) 3 = h (n) (x) =( ) n (n )!( + x) n D.h. h (n) (0) = ( ) n (n )!. Also ist ie Taylorreihe von ln( + x) =0 + x x / + x 3 /3 ()

6 wenn wir as Vorzeichen x umrehen, ist ln( x) =0 x x / x 3 /3 () Wir ziehen Gl von Gl ab, un bekommen ( ) + x ln = x + x 3 /3 + x 5 /5 + = xn x n (b) Direkter Weg: Für x = x 0 = 0 erhalten wir f(x) = ( x 4 ) f (x) = x ( x 4 ) f (x) = ( x 4 ) + 8x ( x 4 ) 3 n= f (x) =8x ( x 4 ) 3 + 6x ( x 4 ) 3 48x 3 ( x 4 ) 4 f (x) =4 ( x 4 ) 3 44x ( x 4 ) x 4 ( x 4 ) 5 f(0) = 4 f (0) =0 f (0) = ( 4) = 8 f (0) =0 Die Taylorreihe ist emnach f (0) =4 ( 4) 3 = 3 8 f(x) =f(0) + f (0)x + f (0)x + 6 f (0)x f (iv) (0)x 4 + = 4 x 4 x mit Taylorreihe. un 3. Ornung x x x Einfacher Weg: Wir setzen x 4 = (x )(x + ) = ( 4 x ) x + h(x) =(x ) h (x) = (x ) h (x) = (x ) 3 h (x) = 3 (x ) 4 = h (n) (x) =( ) n n!(x ) (n+)

7 un erhalten mittels ie Taylorreihe Für h(x) = (x + ) ist h(0) =( ) h (0) = h (0) = 3 h (0) = 3 4 = h (n) (0) = n! n (x ) = x 4 x 8 = (x + ) = x 4 + x 8 + = Wir subtrahieren nun Gl. 4 von Gl. 3 un iviieren urch 4: x 4 = ] [ x 4 4 x4 6 Diese Taylorreihe konvergiert für x <. (c) Direkter Weg: f(x) = sin(x) sin(x) f (x) = cos(x) sin(x) x n n (3) ( ) n xn n (4) = 4 f (x) = sin(x) sin(x) + cos(x) cos(x) = 4 sin(x) sin(x) x n n f (x) = 4 sin(x) cos(x) 4 sin(x) cos(x) = 8 sin(x) cos(x) = 4f (x) f (x) =8 sin(x) sin(x) 8 cos(x) cos(x) = 4f (x) Für x = x 0 = 0 erhalten wir f(0) =0 f (0) =0 f (0) = f (0) = 4f (0) = 0 f (0) = 4f (0) = 8 (cos(x) + sin(x) = ) un Konvergenz für alle x R. f(x) =x 8 4! x ! x6 =x 3 x x x sin x mit Taylorreihe. un 4. Ornung

8 Einfacher Weg: Aus Aufgabe 6b er 3. Übung erhalten wir sin(x) = sin(x) sin(x) = Mit j = n + m können wir iese Reihe umformen sin (x) = ( ) j x j+ j=0 un erhalten für ie ersten Terme er Taylorreihe ( ) n (n + )! xn+ ( ) n (n + )! xn+ j k=0 m=0 ( ) m (m + )! xm+ (k + )! (j k + )! sin (x) = x 3 x x6