Mathematik LK 11 M2, 3. KA Differentialrechnung Lösung

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1 Mathematik LK M,. KA Differentialrechnung Lösung Aufgae : Gegeen ist ie Funktion f (x)=ax +x+c, a,, c R,a 0 Führe eine vollstänige Funktionsuntersuchung gemäß er Liste aus em Unterricht urch. Keine Skizze erforerlich! (Funktionenschar hat unenlich viele Graphen). 0. Aleitungen ilen f ' (x)=ax+ ; x)=a ; (f '''(x)=0). Schnittpunkte mit Koorinatenachsen Schnittpunkt y-achse: f (0)=a c=c S Y (0 c) Schnittpunkt x-achse: 0=a x n + x n +c :a 0=x n + a x n + c a p-q-formel anwenen: x / = a ± 4 a c a = a ± 4 a 4 ac 4 a = a ± 4 ac = 4 a (Das ist ürigens ie sogenannte Mitternachtsformel); Ergenis: - f hat keine Nullstellen, wenn <4 ac 4 ac a ± a - f hat eine Nullstelle, wenn =4ac. Der Schnittpunkt mit er x-achse ist S X( a 0 ) - f hat zwei Nullstellen, wenn >4 ac. Die Schnittpunkte mit er x-achse sin./. Definitionsereich / Polstellen / Asymptoten S X/ ( ± 4 ac a 0 ) D=R, keine Polstellen, keine senkrechten, schiefen, waagerechten Asymptoten = ± 4 ac a 4./5. Grenzwertverhalten f (x)=+, wenn a>0 ; f (x)=, wenn a<0 x ± x ± 6. Achsensymmetrie zur y-achse / Punktsymmetrie zum Koorinatenursprung f (x)=ax +x+c=a(x) (x)+c f (x) x,a 0,,c R Also nicht punktsymmetrisch Für =0 gilt: f (x)=ax +c=a(x) +c=f (x) A: Für =0 ist f achsensymmetrisch zur y-achse Seite von 5

2 Mathematik LK M,. KA Differentialrechnung Lösung Extrempunkte Klassisch: Notwenige Beingung: Nullstellen er ersten Aleitungsfunktion f ' (x)= ax +. 0=ax E + =a x E :a a =x E Hinreichene Beingung: x E ) 0 a) = a 0, weil a 0 a) =a<0 für a<0 Maximum a) =a>0 für a>0 Minimum y-koorinate: f ( a) ( a) =a +( a) a +c= 4 a +c= a A: f hat ein Extremum im Punkt ( a ein Minimum. Alternativ: Umwaneln in Scheitelpunktsform c 4 a) f (x)=ax +x +c=a( x + a ) [ x +c=a x + a ( x+ =a( x + a) a( a) +c=a( x + a) A: f hat ein Extremum im Punkt ( a ein Minimum. 8./9. Wenepunkte / Wenetangenten c 4a 4 a +c=c 4 a. Für a<0 ist es ein Maximum. Für a>0 ist es a) 4 a +c= ( x 4 a) ( a) ] [( +c=a x + a) +( c + 4a ) a) ( a) ] +c. Für a<0 ist es ein Maximum. Für a>0 ist es Notwenige Beingung: Nullstellen er zweiten Aleitungsfunktion f ' ( x)= a. 0=a Es git kein x, ass ie Gleichung erfüllt, also keine Wenestellen. 0. Skizze nicht erforerlich laut Aufgaenstellung Seite von 5

3 Mathematik LK M,. KA Differentialrechnung Lösung Aufgae : Gegeen ist ie Funktion f (x)=(x) 5 (x) + Untersuche ie Funktion auf allgemeine Punktsymmetrie. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt (a ), wenn gilt: f (x)= f (ax) Vermutung: f ist punktsymmetrisch zum Punkt ( ). Test: f (x)= f ( x)= f (x)=[((x)) 5 ((x )) + ] =(x) 5 + (x) =(x) 5 + (x) =((x)) 5 + ((x)) =+(x) 5 (x) =(x) 5 ( x) + q.e.. Aufgae : Berechne en Grenzwert sin (t) (tπ) Zähler: sin (t)=sin (π)=0 =0 Nenner: (tπ) =(ππ) =0 =0 Aleitungen: t sin (t)=cos(t)sin(t); t (tπ) =(tπ) Also sin (t) (tπ) = cos(t) sin(t) (tπ) Zähler: cos(t)sin(t)= 0=0 Nenner: ( tπ)=( ππ)=0 Aleitungen: t cos(t)sin(t )=[(sint(t))sin (t)+cos(t)cos(t)]=(cos (t )sin (t )) (tπ)= = Also t t π sin (t) (tπ) = cos(t )sin (t) = (tπ) (cos (t)sin (t)) =cos (π)sin (π)=() 0 = Aufgae 4: Eine Dose mit einem Liter Fassungsvermögen soll hergestellt weren. Daei weren Grun- un Deckkreis aus em umschrieenen Quarat ausgeschnitten. Berechne ie zu wählenen Maße er Dose so, ass er Materialverrauch minimal ist. Zielfunktion zunächst: O(r,h)= (r) +π r h Neeneingung: V = l=g h=π r h Also π r h= h= π r O(r, h)= (r) + π r h=8 r + π r π r =8 r + r =O(r) Einsetzen: Suche Minimum. Notwenige Beingung: NST er ersten Aleitung: O' (r)=6r r Seite von 5

4 Mathematik LK M,. KA Differentialrechnung Lösung =6 r E r E r E =6r E r E =6r E 8=r E =r E Hinreichene Beingung: O' ' (r E ) 0 O' ' (r)=6+ 4 r O' ' (r E )=O' ' ()=6+ 4 >0 Also ist r 8 E = as gesuchte Minimum. h E = π r = π = π 0,6 A: Für minimalen Verrauch ei einer Dose mit em Volumen l wählt man r E =m als Raius un h E =( π) 0,6 m als Höhe. Aufgae 5: Die Zuversicht eines Schülers im Verlauf einer Kursareit lässt sich mit er Funktion f (t)=e t eschreien (t in Stunen). Berechne ie Zuversicht-Halwertszeit. Der Startwert ist =. Der Punkt ( t H ) liegt auf em Graphen er Funktion. Einsetzen: =et H ln() ln(0,5)=t H ln(0,5) =t H t H A: Nach jeweils etwa min haliert sich ie Zuversicht es Schülers. Aufgae 6: Eine Umgehungsstraße soll um en Ort D geaut weren. Die alte Straße ist schnurgerae un läuft urch D. An en Punkten A(0 4) un B( 4 0) soll ie neue Straße tangential an ie alte Straße anschließen. Außerem soll ie neue Straße urch en Punkt C ( ) gehen. ( L.E. entspricht km) Bestimme eine ganzrationale Funktion 4. Graes, ie en Verlauf er Umgehungsstraße eschreit. Seite 4 von 5

5 Mathematik LK M,. KA Differentialrechnung Lösung f (x)=a x 4 + x + cx + x+ e ; f ' ( x)=4ax + x + cx+ Die neue Straße soll urch ie Punkte A, B un C gehen. Also f (0)=4, f (4)=0 un f ()=. Die alte Straße läuft urch ie Punkte A(0 4) un B(4 0). Damit hat ie zugehörige Gerae ie Steigung m= 40 =. Für en tangentialen Anschluss muss für ie Funktion eshal gelten: 04 f ' (0)= un f ' (4)= Also I. a c e=4 e=4 II. a c e=0 56 a c+ 4+ e=0 III. a c + + e= 6a+ 8+ 4c+ + e= IV. 4a c 0+ = = V. 4a c 4+ = 56 a+48+8c+= Setze e=4 un = in ie ürigen Gleichungen ein: II. 56 a c+ 4 ()+ 4=0 56 a c=0 II.4III. III. 6a+ 8+ 4c+ ()+ 4= 6a+ 8+ 4c= V. 56 a+48+8c= 56a+48+8c=0 V. III. IIa. 9a+ =4 Va. 4a+= Va.IIa. a= a= 6 Setze a= 6 in IIa. ein: 9 ( 6) +=4 + =4 =6 = Setze: a= 6 un = in III. ein: 6 ( 6) +8 +4c= c=4 4c=4 c= Damit ist f ( x )= 6 x4 + x x x+4 A: Der Architekt sollte ie Straße nach er Funktion f ( x )= 6 x4 + 4 x x x+4 auen. Seite 5 von 5