LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 3. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler Department Biologie II Telefon: Großhaernerstr. Fax: Planegg-Martinsrie 3. Übung/Lösung Mathematik für Stuierene er Biologie..07 Abgabe am vor er Vorlesung. Die Aufgaben weren in en Tutorien vom 9. un 0. November besprochen. Aktuelle Infos un Übungszettel finen Sie unter: (Nichtlineare Iterierte Abbilungen - Stabilität einer Fixpunkt-Lösung) [ P] Die nichtlineare Iterierte Abbilung x t+ = f(x t ) habe eine Fixpunkt-Lösung (x, x, x,...) t N mit x = f(x ). Um eren Stabiltät zu untersuchen, betrachten wir kleine Störungen y t = x t x. (a) Durch welche (nichtlineare) Iterierte Abbilung wir ie Zeitentwicklung von y t beschrieben? Um iese Frage zu beantworten, setzen Sie ie Iterierte Abbilung x t+ = f(x t ) in ie Gleichung y t+ = x t+ x ein un ersetzen Sie anschließen x t urch x t = x + y t. (b) Entwickeln Sie nun f(x + y t ) für kleine Störungen y t in eine Taylorreihe bis einschließlich es linearen Terms. Welche (lineare) Iterierte Abbilung erhalten Sie für y t? (c) Unter welchen Beingungen an f (x ) ist ie Fixpunkt-Lösung asymptotisch stabil, wann instabil un wann marginal stabil? () Wenen Sie Ihr Ergebnis auf ie nichtlineare Iterierte Abbilung x t+ = a x t ( x t ) an. Betrachten Sie en trivialen Fixpunkt x = 0 un (für a > 0) ie von Null verschieene Lösung. (a) y t+ = x t+ x y t+ = f(x t ) x y t+ = f(x + y t ) x (b) f(x + y t ) f(x ) + f (x )y t für y t. y t+ = f(x + y t ) x y t+ f (x )y t + f(x ) x = f (x )y t mit er zeitabhängigen Lösung y t = c [f (x )] t, c = y 0 = x 0 x. (c) Asymptotisch stabil: Für < f (x ) <. Marginal stabil: Für f (x ) =. Instabil: Sonst. () Fixpunkt x = 0: f (x ) = a ( x ) wir mit x = 0 zu f (x ) = a. Asymptotisch stabil für < a <. Für y t gilt y t+ f (x )y t = ay t. Fixpunkt x = a : f (x ) = a ( x ) wir zu f (x ) = a. Asymptotisch stabil für < a < 3. Für y t gilt y t+ f (x )y t = ( a)y t.. (Ableitungsregeln) Berechnen Sie unter Verwenung von [ P] x f(x) = ( y f (y)) (wobei y = f(x), x = f (y) un

2 y f (y) 0) ie erste Ableitung er Funktionen (a) f(x) = ln x (b) f(x) = ln( + x) (a) f : R + R, bijektiv, y f (y) = e y f (x) = /x (b) f : R + 0 R+ 0, bijektiv, y f (y) = (e y ) e y f (x) = (x+ x) 3. (Taylor-Entwicklung) [ P] Entwickeln Sie ie folgene Funktion bis zur. un 3. Ornung am angegebenen Punkt x 0. Skizzieren Sie für Beispiel (a) ie Funktion f(x) un beie Taylorreihen. (a) f(x) = x (x + ), x 0 = 0 (b) f(x) = x (x + ), x 0 = (a) un (b) f(x) = x (x + ) = x(x + x + ) = x 3 + 4x + x f (x) = 6x + 8x +, f (x) = x + 8, f (x) = Allgemeine Taylorreihe für (a) un (b):. Ornung: y(x) = (x 0 + x 0 + x 3 0) + ( + 8x 0 + 6x 0)(x x 0 ) + (4 + 6x 0 )(x x 0 ) x 0 = 0 y(x) = x + 4x x 0 = y(x) = (++)+(+8+6)(x )+(4+6)(x ) = 8+6(x )+0(x ) = 0x 4x+ 3. Ornung: y(x) = (x 0 + x 0 + x 3 0) + ( + 8x 0 + 6x 0)(x x 0 ) + (4 + 6x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) 3 x 0 = 0 y(x) = x + 4x + x 3 = f(x) x 0 = y(x) = 8 + 6(x ) + 0(x ) + (x ) 3 = x + 4x + x 3 = f(x) 6 5 orginal

3 4. (Potenzreihen) Zeigen Sie, ass x ekx = ke kx gilt, inem Sie ie Potenzreihe für e kx ableiten. [ P] e x = n=0 xn x ekx = x n=0 (kx) n n=0, aher ekx = (kx) n = n=0 x un (kx) n = n= nk(kx) n = k (kx) n n= (n )! = k (kx) n n=0 = ke kx 5. (Kurveniskussion) Diskutieren Sie ie Funktionen [ P] g(x) = x x un h(x) = sin(x) cos(x) nach folgenem Schema: (a) Welche Symmetrieeigenschaften hat ie Funktion? (b) Welche Nullstellen hat ie Funktion? (c) Wie ist as asymptotische Verhalten er Funktion für x ±? () Ist ie Funktion stetig? Wie verhält sich ie Funktion an en Polstellen (falls sie welche besitzt)? (e) Bestimmen sie für g(x) un h(x) ie ersten rei Ableitungen. (f) Hat ie Funktion lokale Extrema? Wo liegen sie? (g) Hat ie Funktion absolute Extrema? Wo liegen sie? (h) Für welche x ist ie Funktion monoton steigen bzw. monoton fallen? (i) Wie ist as Krümmungsverhalten? In welchen Bereichen ist ie Funktion konvex, in welchen ist sie konkav? Wo sin Wenepunkte? (j) Skizzieren Sie ie Funktion (ohne weitere Funktionswerte zu berechne). (a) weer gerae noch ungerae (b) x 0 = 0 (c) lim x ± x x = lim x ± g(x) = x x( /x) = lim x ± x x x /x = () Polstelle bei x =, lim x + g(x) = +, lim x g(x) = limx ± x lim x ± /x = ± (e) g (x) = x x (x ) ; g (x) = (x ) 3 ; g (x) = 6 (x ) 4 (f) g (x) = 0 x E0 = 0, x E = ; g (x E0 ) = Maximum bei (0, 0); g (x E ) = Minimum bei (, 4) (g) beie Extrempunkte sin nur lokal, a ie Funktionswerte gegen ± sowohl für lim x ± als auch um ie Polstelle bei x = gehen (h) monoton fallen: 0 x < < x monoton steigen: x 0 x (i) keine Wenepunkte mit Hilfe er. Ableitung nachweisbar, ennoch wechselt ie Krümmung an er Polstelle x = : x < g (x) < 0 konkav; x > g (x) > 0 konvex ACHTUNG: Die Begriffe konkav un konvex weren in verschieenen Mathematikbüchern unterschielich efiniert. Die obige Verwenung hält sich an ie Definition im Skript.

4 (j) h(x) = sin(x) cos(x) Hinweis: Die Umformung sin(x) cos(x) = sin(x)/ (siehe Aufgabe 3a) vereinfacht ie Kurveniskussion. (a) Symmetrie: sin( x) cos( x) = sin(x) cos(x) f(x) = f( x) f(x) ist ungerae (b) Nullstellen: f(x) = 0 wenn sin(x) = 0 x = n π, n Z un cos(x) = 0 x = π/ + n π, n Z zusammen ergibt ies x 0 = π/ n, n Z (c) Proukt perioischer Funktionen Grenzwerte existieren nicht () Proukt stetiger Funktionen stetig (e) h (x) = cos (x) sin (x); h (x) = 4 cos(x) sin(x) = 4 h(x); h (x) = 4 ( cos (x) sin (x) ) = 4 h (x) (f) h (x) =! 0 cos (x) sin (x) = 0 sin (x) [ sin (x) ] = 0 sin (x) = / ± sin(x) = (/) sin(±x) = (/) ±x = arcsin( (/)) Extrema bei x E = π/4 + π/ n, n Z Einsetzen in h (x E ) = 4 cos(x E ) sin(x E ) = 4f(x E ) hat Extrema an en selben Stellen nur mit umgekehrtem Vorzeichen für n = 0 Maximum, n ungerae Minimum; n gerae Maximum. (g) ie lokalen Extrema sin auch absolute Extrema, a ie Funktion perioisch ist un gegen keine Grenzwerte konvergiert (h) h(x) ist auf en Intervallen (π/4 + π/ n, π/4 + π/ n ) mit n, n Z un n ungerae un n gerae bzw. 0, streng monton steigen un auf (π/4 + π/ n, π/4 + π/ n ) mit n, n Z un n gerae bzw. 0 un n ungerae, streng monoton fallen (i) h (x)! = 0, a h (x) = 4 h(x) erfüllt an en Nullstellen x 0 von h(x), hier hat h Extrema genauso wie h (x) nur mit jeweils umgekehrtem Vorzeichen konkav auf en Intervallen (π/ n, π/ n ) mit n, n Z un n gerae un n = n +, konvex auf en Intervallen (π/ n, π/ n ) mit n, n Z un n ungerae un n = n +. (j)

5 6. (Umgekehrte Kurveniskussion) [ P] Ein Polynom ritten Graes in er Variablen x ist z.b. f : R R mit f(x) = a + bx + cx + x 3 Ein Polynom höheren Graes wir nach emselben Schema efiniert. (a) Bestimmen Sie ein Polynom f(x) ritten Graes (wie oben) so, aß gilt: An er Stelle x = hat ie Tangente ie Steigung 4, eine relative Extremstelle ist x = 5, eine Wenestelle ist x = 0/3, eine Nullstelle ist 0. (b) Bestimmen Sie ein Polynom ritten Graes so, aß gilt: Der Punkt (0, ) liegt auf em Graphen. Die Normale zur Wenetangente hat ie Gleichung 3y x + = 0 un schneiet en Graph im Wenepunkt (, f()). (c) Bestimmen Sie ein Polynom fünften Graes, essen Graph zum Ursprung punktsymmetrisch ist, urch en Punkt (, ) verläuft un am Punkt (, 8) ein relatives Extremum hat. Hinweis: Bitte beachten Sie, wenn Sie f(x) bestimmt haben, aß Sie noch ie hinreichenen Kriterien für Extrema un Wenepunkte prüfe Zur Erinnerung: ie notwenige Beingung für einen Wenepunkt ist f (x) = 0. (a) f(x) =a + bx + cx + x 3 f (x) =b + cx + 3x f (x) =c + 6x f (x) =6 Nullstelle bei x = 0 : f(0) = a + b 0 + c = a = 0. Steigung bei x = :f () = 4 b + c + 3 = 4 () Extremstelle bei x = 5:f (5) = 0 b + c = 0 () Wenepunkt bei x = 0/3:f (0/3) = 0 c + 6 0/3 = 0 c = 0 Wenn wir ie letzte Gleichung in ie für ie Extremstelle (Gl. ) einsetzen, ann bekommen wir b = 0. Oer b = 5. In er Gleichung () für ie Steigung ist ann b + c + 3 = 5 + ( 0) + 3 = 4 8 = 4 b = 5/, c = 5, = /. Also ist Überprüfen wir nun: f(x) = 5/x 5x + /x 3. x = 5 ist Extremstelle: f (x) x=5 = (c + 6x) x=5 = (( 5) + 6 ) x = = 5 > 0 Also ein Minimum (Extremstelle mit f (x) 0). Wenestelle bei x = 0/3: f (x) x=0/3 = 6 = 3 0 x=5

6 x (b) Der Punkt (0, ) liegt auf em Graph f(0) = a =. Wenepunkt bei x = : f () = (c + 6x) x= = c + = 0 c = 6 Schnittpunkt er Normalen mit er Wenetangente (un em Graph) (3y x + ) x= =0 3y + =0 y = 0 Also ist y() = (a + bx + cx + x 3 ) x= = a + b + 4c + 8. Die Normale zur Wenetangente hat ie Gleichung 3y =x y = x 3 3 Wenn ie Normale ie Steigung /3 hat, ann hat ie Tangente Steigung 3. Hieraus folgt un über y() wissen wir y () = ( b + cx + 3x ) x= = b + c = 3 y() =a + b + 4c + 8 = 0 b + 4c + = 3 b + 4 ( 6) + = 3 a + b + 4c + 8 =0 + b = 0 Wir haben as Gleichungssystem auf folgene zwei Gleichungen reuziert: b = 3 b 6 = (I) (II) * Gleichung (I)- (II): 8 = 8 =. Wenn wir en Wert für in (I) einsetzen, bekommen wir b = 3 b = 9. Da c = 6 c = 6. Also ist y(x) = + 9x 6x + x 3 Zur Überprüfung: y (x) = 6 0 x R Also ist er Punkt (, 0) ein Wenepunkt.

7 (c) Ein Polynom fünften Graes wäre Punktsymmetrie, muss 3 4 x f(x) = a + bx + cx + x 3 + ex 4 + gx 5. Da f(x) = f( x) aufgrun er f(x) =bx + x 3 + gx 5 f (x) =b + 3x + 5gx 4 f (x) =6x + 0gx 3 sein. (Die Terme x, x 4 un ie Konstante a sin nicht punktsymmetrisch.) Wir wissen f() = ( bx + x 3 + gx 5) x= = b + + g = f( ) = (b + + 4g) = (II) f ( ) =b g = 0 Gleichung (I) - / (II) un (I)-(III): 3g =0 (I ) 5 9g = (II ) 5 (I ) + II : = 4g = g = /. In (I ): 3 (/) = 0 = 3/. Wenn wir ie Werte für g un in (I) einsetzen: b + + g = b + / 3/ = b =. Also Test: Es liegt ein Minimum (Tiefpunkt) vor. f(x) = x 3 x3 + x5. f (x) =6 3 x + 0 x3 f ( ) =9 + 0 > 0 x (I) (III)