Bemessung einer einachsig gespannten Geschoßdecke nach dem Leitfaden Brettsperrholz Bemessung und ÖNORM B :2014, Anhang K.

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1 Beispiel Decke Bemessung einer einachsig gespannten Geschoßdecke nach dem Leitfaden Brettsperrholz Bemessung und ÖNORM B :2014, Anhang K. Berechnungsbeispiel im Rahmen des Seminars Brettsperrholz Bemessung Walner-Mild Holzbausoftware Graz, Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 1

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4 System Annahme für die Bemessung der Decke: Einfeldträger über die Spannweite l = 4,15 m Anforderungen Nutzungsklasse Decke innerhalb des beheizten Gebäudes: NKL 1 Verformungsbeiwert k def (laut ÖNORM B :2014, Tabelle NA.K.2) k def = 0,8 Vorbemessung auf Grund der Plattenschlankheit gewählt h l h = = mm 20 Fiktiver BSP-Querschnitt gemäß Brettsperrholz Bemessung (Rückseite) BSP 160 L5s (40l 20w 40l 20w 40l) Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 4

5 Einwirkungen Eigengewicht g 1,k = γ A brut = g 1,k = 5,0 1 0,16 = 0,8 kn/m² mit der Rohdichte bzw. Wichte (für Weichholz-Sperrholz laut EN :2011, Tabelle A.3) ρ mean = 500 kg/m 3 γ = 5,0 kn/m 3 Ständige Auflasten g 2,k = 2,8 kn/m 2 Nutzlast Nutzlast der Kategorie A: Wohnungen zuzüglich eines Zwischenwandzuschlages laut EN :2011, (leichte Trennwände) n k = 2,0 kn/m 2 + 0,5 kn/m 2 = 2,5 kn/m 2 Lastdauer mittel. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 5

6 Bemessung Grenzzustände der Tragfähigkeit GZT Querschnittswerte (Brettsperrholz Bemessung Rückseite) Widerstandsmoment W 0,net = cm³ Äquivalente Fläche zur Ermittlung der maximalen Rollschubspannung A R,τ = cm² Bemessungswert der Einwirkung maßgebende seltene Einwirkungskombination 1 q d = γ G g i,k + γ Q q 1,k + γ Q ψ 0 q i,k i>1 Hier ist die Kombination g + n maßgebend: q d = 1,35 (0,8 + 2,8) + 1,5 2,5 = 8,61 kn/m Zur NKL1 gehöriger Beiwert für die Lastdauer der in der maßgebenden Bemessungssituation am kürzesten wirkenden Last n k (mittel): k mod = 0,8 Auswirkungen der Einwirkung -Schnittgrößen M d = q d l 2 8 M d = 18,54 knm V d = q d l 2 Spannungen V d = 17,87 kn Biegung: Bemessungswert der Beanspruchung σ m,y,d f m,y,d σ m,y,d = M d W net σ m,y,d = 18, = 4,88 N/mm² Biegung: Bemessungswert des Widerstandes f m,y,d = k sys k mod f m,k γ m Mit dem Teilsicherheitsbeiwert für Brettsperrholz (laut ÖNORM B :2014, Anhang K) 1 für das vorliegende Beispiel eines Einfeldträgers mit Gleichlast wird für eine einfachere Darstellung die Kombination für die geforderten Bemessungssituationen auf Ebene der Einwirkung vorgenommen. In der Regel werden die Auswirkungen der einzelnen Einwirkungen ermittelt und für die geforderten Bemessungssituationen erst auf Ebene der Schnittgrößen oder der Spannungen für GZT und Durchbiegungen für GZG kombiniert. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 6

7 γ m = 1,25 und dem Modifikationsbeiwert aus der maßgebenden Kombination k mod = 0,9 und dem Systembeiwert (laut ÖNORM B :2014, Anhang K) k sys = 1,2 und dem charakteristischen Wert der Biegefestigkeit der Bretter (C24 laut ÖNORM EN 338): f m,k = 24 N/mm² 24 f m,y,d = 1,2 0,9 = 17,28 N/mm² 1,25 Schub: Bemessungswert der Rollschubbeanspruchung τ V,R,d f V,R,d Allgemein gilt: τ V,R,d = V d S net I net b Mit rückgerechneten Querschnittswerten kann vereinfacht werden zu τ V,R,d = 1,5 V d A R,τ τ V,R,d = 1,5 17,87 10 = 0,14 N/mm² Schub: Bemessungswert des Widerstandes gegen Rollschubversagen f V,R,d = k mod f V,R,k γ m f V,R,d = 0,8 0,7 = 0,45 N/mm² 1,25 Mit dem charakteristischen Wert der Rollschubfestigkeit (laut Tabelle NA.K.3) f V,R,k = 0,7 N/mm² Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit GZT Biegung σ m,y,d f m,y,d 4,88 N/mm² 17,28 N/mm² [OK] Nachweis erfüllt (28%) Rollschub τ V,R,d f V,R,d 0,14 N/mm² 0,45 N/mm² [OK] Nachweis erfüllt (31%) Anmerkung. Die Schubspannung in den Längslagen kann bei Brettsperrholz aus kombiniert aufgebauten Brettlagen unterschiedlicher Festigkeitsklassen maßgebend werden. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 7

8 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit GZG Gamma-Verfahren Querschnittswerte, Materialkennwerte Trägheitsmoment Trägheitsmoment für die effektive Länge l = 4,15 m I ef = cm 4 Das effektive Trägheitsmoment beträgt 91% des Netto-Trägheitsmoments I net. Dies entspricht einem Anteil der Schubverformung an der Gesamtverformung von etwa 10%. Angaben für das effektive Trägheitsmoment Anhängig von der effektiven Länge laut Brettsperrholz Bemessung für 4 m: I ef = cm 4 für 5 m: I ef = cm 4 Elastizitätsmodul Der Elastizitätsmodul für die Lamellen in Brettsperrholz wird laut ÖNORM B :2014, Tabelle NA.K.3 aus dem E-Modul der Lamellen ermittelt: E 0,mean = 1, = N/mm² Biegesteifigkeit Dies führt zu einer effektiven Biegesteifigkeit von EI ef = knm² Einwirkungskombinationen 2 charakteristische Bemessungssituation zur Ermittlung der Anfangsdurchbiegung w inst q inst,k = g i,k + q 1,k + ψ 0 q i,k Hier wird q inst,k = g 1,k + g 2,k + n k = 0,8 + 2,8 + 2,5 = 6,1 kn/m i>1 quasi-ständige Bemessungssituation zur Ermittlung der Enddurchbiegung w net,fin q fin,k = ( g i,k + ψ 2 q i,k ) (1 + k def ) Hier wird q fin,k = (g 1,k + g 2,k + 0,3 n k ) 1,8 = q fin,k = (0,8 + 2,8 + 0,3 2,5) 1,8 = 7,83 kn/m 2 für das vorliegende Beispiel eines Einfeldträgers mit Gleichlast wird für eine einfachere Darstellung die Kombination für die geforderten Bemessungssituationen auf Ebene der Einwirkung vorgenommen. In der Regel werden die Auswirkungen der einzelnen Einwirkungen ermittelt und für die geforderten Bemessungssituationen erst auf Ebene der Schnittgrößen oder der Spannungen für GZT und Durchbiegungen für GZG kombiniert. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 8

9 Anfangsdurchbiegung w inst = 5 q inst,k l EI ef = w inst = 5 6,1 4, = 7,36 mm Enddurchbiegung w net,fin = 5 q fin,k l EI ef = w net,fin = 5 7,83 4, = 9,44 mm Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 9

10 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit GZG Timoshenko-Verfahren Querschnittswerte Trägheitsmoment I net = cm 4 Elastizitätsmodul E 0,mean = N/mm² Biegesteifigkeit E I net = knm 2 Schubsteifigkeit Steifigkeit der Schubflächen ohne Berücksichtigung der Schubspannungsverteilung: GA net = G i A i Schubkorrektufaktor aus Querschnittswerten (z.b. Brettsperrholz Bemessung, Rückseite)3 κ = 0,208 GA s = κ GA net = 0, = kn Anfangsdurchbiegung w inst = 5 q inst,k l EI net + q inst,k l 2 8 GA s = w inst = 5 6,1 4,154 6,1 4, = w inst = 6,71 + 0,74 = 7,45 mm (der Anteil der Schubverformung an der Gesamtverformung beträgt 10%) Enddurchbiegung w net,fin = 5 q fin,k l EI net + q fin,k l 2 8 GA s = w inst = 5 7,83 4,154 7,83 4, = w inst = 8,61 + 0,95 = 9,56 mm 3 Der Schubkorrekturbeiwert Kappa im BSP-Leitfaden wurde mit Rollschubmoduln nach technischen Zulassungen ermittelt. Nach ÖNORM B :2014 dürfen höhere Werte für den Rollschubmodul angesetzt werden: Schubmodul der Brettlagen quer zur Faserrichtung laut ÖNORM EN 338:2009, Tabelle 1 G 0,mean = 690 N/mm² Rollschubmodul der Brettlagen laut ÖNORM B :2014, Anhang K, Tabelle NA.K.3 G 90,mean = 65 N/mm² Daraus ergibt sich für das betrachtete Element: κ = 0,260 Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 10

11 Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit GZG laut ÖNORM B :2014, Nationale Festlegung zu ÖNORM EN :2014, Abschnitt Anfangsdurchbiegung w inst l 300 7,36 mm 4150 = 13,83 mm 300 [OK] Nachweis erfüllt (53%) Enddurchbiegung w fin l 250 9,44 mm 4150 = 16,60 mm 250 [OK] Nachweis erfüllt (56%) Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 11

12 Schwingungen von Wohnungsdecken Einordnung der Decke in die Deckenklasse hinsichtlich des Schwingungsverhaltens gemäß ÖNORM B :2014. Verhalten der Decke in Querrichtung Länge und Breite des Deckenfeldes l = 4,15 m b = 8,00 m Verhältnis der Abmessungen Steifigkeiten l b = 4,15 8,00 = 0,519 Steifigkeit des Brettsperrholz-Elements in Längsrichtung EI l = EI ef = knm² Steifigkeit des Brettsperrholz-Elements in Querrichtung I 90,ef = cm 4 EI 90,BSP,ef = Steifigkeit des Estrichs Dynamischer-E-Modul E Estrich = N/mm² h Estrich = 6 cm I Estrich = = 423 knm2 = cm 4 EI Estrich = E Estrich I Estrich = Gesamte Steifigkeit quer zur Spannrichtung EI b = EI 90 = EI 90,BSP,ef + EI Estrich EI b = = 891 knm² = 468 knm2 Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 12

13 Schwingungsnachweise Frequenzkriterium Querverteilung Verhältnis der Steifigkeiten EI b = 891 EI l 3202 = 0,28 Faktor zum Einfluss der Quertragfähigkeit k b = 1 + ( l b ) 4 (EI) b (EI) l k b = 1 + 0, ,28 = 1,01 Deckenmasse (aus den ständigen Einwirkungen) g k = 3,6 kn/m² m = 9, = 367 kg/m² g k Erste Eigenfrequenz f 1 = π 2 l 2 (EI) l m 1 + ( l b ) 4 (EI) b (EI) l π f 1 = 2 4, ,01 = 8,60 Hz 367 Zuordnung der Deckenklasse f 1 f grenz 8 Hz Deckenklasse I f grenz = { 6 Hz Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Frequenzkriterium ist die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 13

14 Steifigkeitskriterium Statische Einzellast F = 1,0 kn mitwirkende Breite (nach Gleichung NA. 7.2-E3) b F = min l 1,1 4 (EI) b (EI) l { Deckenbreite b 4,15 b F = min { 1,1 4 0,28 8,00 Durchbiegung in Feldmitte w stat = w stat = F l 3 48 (EI) l b F = 2,744 m 1 4, = 0,17 mm ,744 Zuordnung der Deckenklasse w stat w grenz 0,25 mm Deckenklasse I w gr = { 0,50 mm Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Steifigkeitskriterium ist die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Zusammenfassung des Schwingungsverhaltens Hinsichtlich des Schwingungsverhaltens erfüllt die Decke Deckenklasse I laut ÖNORM B :2014. [OK] Nachweis erfüllt Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 14

15 Beschleunigungskriterium Anmerkung: Das Beschleunigungskriterium ist im vorliegenden Fall nicht zu untersuchen, da Frequenzkriterium und Steifigkeitskriterium bereits erfüllt sind. Die Beschleunigung wird hier also nur der Vollständigkeit halber berechnet. Einzuhaltende Mindestfrequenz f 1 f min = 4,5 Hz Mindestfrequenz erfüllt Gewichtskraft einer auf der betrachteten Decke gehenden Person F 0 = 700 N α = e 0,4 f 1 α = e 0,4 8,6 = 0,03206 modaler Dämpfungsgrad (Lehr'sches Dämpfungsmaß) laut Tabelle NA. 7.6 Brettsperrholzdecken mit schwimmendem Estrich und schwerem Fußbodenaufbau ζ = 0,04 Modale Masse M = m l 2 b F M = 367 4,15 2,744 = kg 2 Effektivwert der Schwingbeschleunigung a rms = 0,4 α F 0 2 ζ M a rms = 0,4 0, = 0,05 m/s2 2 0, Zuordnung der Deckenklasse Die Zuordnung zu einer Deckenklasse nach dem Beschleunigungskriterium ist nur notwendig, wenn das Frequenzkriterium nicht erfüllt werden kann. 0,05 m/s² Deckenklasse I a gr = { 0,10 m/s² Deckenklasse II Deckenklasse III Nach dem Beschleunigungskriterium wäre die Decke der Deckenklasse I zuzuordnen. Wallner, Mild HolzbauSoftware Seite 15