Analysis Aufstellen ganzrationaler Funktionen (Steckbriefaufgaben)
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- Elisabeth Glöckner
- vor 5 Jahren
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1 Analysis (Steckbriefaufgaben) Alexaner Schwarz August 18 1
2 Aufgabe 1: Bestimme jeweils en Funktionsterm. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion ritten Graes hat einen Tiefpunkt bei T(/) un einen Wenepunkt bei W(1/5). b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion ritten Graes berührt ie x-achse im Ursprung un hat an er Nullstelle x = - ie Steigung 6. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Graes ist achsensymmetrisch zur y-achse. Er schneiet ie y-achse bei un hat einen Tiefpunkt bei T(/-6). ) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Graes hat im Ursprung eine Wenetangente mit er Steigung 1 un im Punkt P(/4) ie Steigung. Aufgabe : Eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion 5.Graes hat im Ursprung ie Tangente mit er Gleichung y = 7x un in P(1/) einen Wenepunkt. Wie lautet ihr Funktionsterm? Aufgabe : Wie lautet ie ganzrationale Funktion.Graes, ie ie x-achse im Ursprung berührt un eren Tangente in P(-/) parallel zur Geraen mit er Gleichung y = 6x ist? Aufgabe 4: Eine ganzrationale Funktion.Graes hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur x-achse un in Q(/) ihre Wenepunkt. Wie lautet ie Funktionsgleichung? Aufgabe 5: Eine ganzrationale Funktion.Graes hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur 1.Winkelhalbierenen un in Q(/) eine Tangente parallel zur x-achse. Wie lautet ie Funktionsgleichung? Aufgabe 6: Das Schaubil einer ganzrationalen Funktion.Graes geht urch O(/) un hat in H(/4) einen Punkt mit waagrechter Tangente. Bei x = 1 existiert eine Wenestelle. Wie lautet ie Funktionsgleichung? Aufgabe 7: Eine ganzrationale Funktion.Graes urch P(/-5) un Q(1/) berührt ie x-achse in R(5/). Wie lautet ie Funktionsgleichung? Aufgabe 8: Eine ganzrationale Funktion.Graes geht urch O(/) un hat ihren Wenepunkt in W(1/-). Die Wenetangente schneiet ie x-achse in Q(/). Wie lautet ie Funktionsgleichung?
3 Aufgabe 1: a) Ansatz für Es gilt Lösungen f (x) ax bx c un f (x) 6ax b Beingungen: f() f () c f(1) 5 a b c 5 (*) f (1) 6a b (**) Aus (*) un (**) folgt unter Berücksichtigung von = un c = : a b 6a b Aus er 1.Zeile folgt: b = -a Eingesetzt in ie.zeile: 6a ( a) 4a 4 a 1 b ( 1) f(x) x x b) Ansatz für Es gilt f (x) ax bx c Beingungen: f() f () c f( ) 7a 9b c (*) f ( ) 6 7a 6b c 6 (**) Aus (*) un (**) folgt unter Berücksichtigung von = un c = : 7a 9b 7a 6b 6 Aus 1.Zeile folgt: 9b 7a b a Eingesetzt in ie.zeile: 7a 6 a 6 9a 6 a b f(x) x x
4 c) Ansatz für Es gilt f (x) 4ax bx Beingungen: f() c 4 f(x) ax bx c f() 6 16a 4b c 6 (*) f () a 4b (**) Aus (*) un (**) folgt unter Berücksichtigung von c = : 16a 4b 8 a 4b Aus.Zeile folgt: 4b a b 8a Eingesetzt in ie 1.Zeile: 16a 4 ( 8a) 8 16a 8 a,5 b 8,5 4 ) Ansatz für Es gilt 4 f(x),5x 4x f (x) 4ax bx cx un Beingungen: f() e f () c c f () f(x) ax bx cx x e f (x) 1ax 6bx c f() 4 16a 8b 4c e 4 (*) f () a 1b 4c (**) Aus (*) un (**) folgt unter Berücksichtigung von e =, = 1 un c = : 16a 8b a 1b 1 Aus 1.Zeile folgt: 8b 16a b,5 a Eingesetzt in ie.zeile: a 1 (, 5 a) 1 8a 4 a,5 b,5 (,5) 1,5 4 f(x),5x 1, 5x x 4
5 Aufgabe : 5 f(x) ax bx cx (nur ungerae Hochzahlen wegen Symmetrie zu O(/). 4 f (x) 5ax bx c un Beingungen: Steigung m = 7 im Ursprung: f () 7 c 7 f (x) ax 6bx P(1/) liegt auf em Schaubil: f(1) a b c a b 7 (*) x = 1 ist eine Wenestelle: f (1) a 6b (**) Lösung es Gleichungssystems (*) un (**): a b 7 a 6b ( 6) a b 7 14a 4 Aus.Zeile: a = Aus 1.Zeile: b = -1 5 f(x) x 1x 7x Aufgabe : f (x) ax bx c Beingungen: Berührung im Ursprung: f() f () c P(-/) liegt auf em Schaubil: f( ) 7a 9b c 7a 9b (*) Tangente bei x = - hat Steigung m = 6: f ( ) 6 7a 6b c 7a 6b 6 (**) Lösung es Gleichungssystems (*) un (**): 7a 9b 7a 6b 6 7a 9b b 6 Aus.Zeile: b = Aus 1.Zeile: a f(x) x x 5
6 Aufgabe 4: f (x) ax bx c un f (x) 6ax b Beingungen: P(1/4) liegt auf em Schaubil: f(1) 4 a b c 4 (*) Steigung bei x = 1 ist m = : f (1) a b c (*) Q(/) liegt auf em Schaubil: f() Wenestelle bei x = : f () b b Lösung es Gleichungssystems (*) un (**): a c a c ( 1) a c a Aus.Zeile: a = -1 Aus 1.Zeile: c = f(x) x x Aufgabe 5: f (x) ax bx c Hinweis: Die 1.Winkelhalbierene y = x hat ie Steigung 1 Beingungen: P(1/4) liegt auf em Schaubil: f(1) 4 a b c 4 (*) Steigung bei x = 1 ist m = 1: f (1) 1 a b c 1 (*) Q(/) liegt auf em Schaubil: f() Bei x = ist ie Steigung m = : f () c Lösung es Gleichungssystems (*) un (**): a b a b 1 ( ) a b a Aus.Zeile: a = - Aus 1.Zeile: b = 5 f(x) x 5x 6
7 Aufgabe 6: f (x) ax bx c un f (x) 6ax b Beingungen: O(/) liegt auf em Schaubil: f() H(/4) liegt auf em Schaubil: f() 4 8a 4b c 4 8a 4b c 4 (*) Steigung bei x = ist m = : f () 1a 4b c (**) Wenestelle bei x = 1: f (1) 6a b (***) Lösung es Gleichungssystems (*) un (**) un (***) 8a 4b c 4 1a 4b c 6a b ( ) 8a 4b c 4 16a 4b 4 6a b 8a 4b c 4 16a 4b 4 4a 4 Aus.Zeile: a = -1 Aus.Zeile: b = Aus 1.Zeile: c = f(x) x x Aufgabe 7: Aufgrun er Vorgaben gibt es hier zwei Lösungsvarianten: Variante 1: f (x) ax bx c Beingungen: P(/-5) liegt auf em Schaubil: f() 5 5 Q(1/) liegt auf em Schaubil: f(1) a b c a b c 5 (*) R(5/) liegt auf em Schaubil: f(5) 15a 5b 5c 15a 5b 5c 5 (**) Bei x = 5 ist ie Steigung m = : f (5) 75a 1b c (***) Lösung es Gleichungssystems (*) un (**) un (***) a b c 5 5a 5b c 1 75a 1b c ( 5) ( 75) 7
8 a b c 5 b 4c 14 65b 74c 75 ( 1) 4 a b c 5 b 4c 14 16c 11 Aus.Zeile: c = 7 Aus.Zeile: b = -, Aus 1.Zeile: a =, Funktionsgleichung f(x),x,x 7x 5 Variante : Da sämtliche Nullstellen er Funktion bekannt sin, kann iese auch in Prouktform angesetzt weren: f(x) a (x 1) (x 5) (a bei x = 5 ie x-achse berührt wir, existiert ort eine oppelte Nullstelle) Beingung: f() 5 a ( 1) ( 5) a, f(x), (x 1) (x 5) Hinweis: Wenn man ie Klammern ausmultipliziert, erhält man ie Funktionsgleichung aus Variante 1. Aufgabe 8: f (x) ax bx c un f (x) 6ax b Von er Wenetangente sin ie Punkte W(1/-) un Q(/) bekannt. yw yq Somit kann man ihre Steigung bestimmen: mwenet angente x x 1 Beingungen: O(/) liegt auf em Schaubil: f() W(1/-) liegt auf em Schaubil: f(1) a b c a b c (*) Wenestelle bei x = 1: f (1) 6a b (**) Bei x = 1 ist ie Steigung m = : f (1) a b c (***) W Q 8
9 Lösung es Gleichungssystems (*) un (**) un (***) a b c 6a b a b c ( 6) ( ) a b c 4b 6c 1 b c 8 ( 4) a b c 4b 6c 1 c Aus.Zeile: c = -1 Aus.Zeile: b = 1 Aus 1.Zeile: a = -4 f(x) 4x 1x 1x 9
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