1 für ein Drittel, Teilt man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, 6,, n gleich große Teile, dann entstehen : 3 2

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1 B Bruchzahlen Bruchteile und Anteile Wir schreiben für ein Halbes, für ein Drittel, für zwei Drittel, für drei Viertel usw. ; ; ; ; nennt man Brüche. Zähler Bruchstrich Nenner Teilt man ein Ganzes in,,,, 6,, n gleich große Teile, dann entstehen die Stammbrüche,,,, 6,, n. Der Auftrag Berechne eines Ganzen verlangt: Teile das Ganze in gleich große Teile und nimm dieser Teile. : Ergebnis: Der Auftrag Verteile Ganze an Personen verlangt: Teile jedes Ganze in drei gleich große Teile. Gib jedem von jedem zerteilten Ganzen ein Teilstück. Ergebnis: = Beispiel Stelle die Brüche, und als Kreisteile dar. Beispiel Verteile Pizzen gerecht an Kinder. Welchen Teil einer Pizza bekommt jedes? =

2 Bruchteile und Anteile. Welcher Bruchteil wurde gefärbt? a) b) c) d). Stelle folgende Bruchteile in den vorbereiteten Figuren dar: a) ; b) 6 ; c) 6.. Hier ist eine Strecke von genau cm Länge mit Zentimeter- und Millimetereinteilung gegeben. Markiere a) der Strecke; b) der Strecke; c) der Strecke; d) der Strecke. 7. Welcher Auftrag ist hier dargestellt? Wie heißt das Ergebnis? =. a) Es sollen Tafeln Schokolade gerecht an Kinder verteilt werden. b) Es sollen Tafeln Schokolade gerecht an 6 Kinder verteilt werden. a) b)

3 B Bruchteile Brüche Bruchzahlen Bruchteile von Größen Eine Größe ist ein Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit, wie = oder mm = mm. Bei Bruchteilen von Größen treten Gleichungen der Form a b von G = E auf. Du musst lösen, in denen zwei von drei Werten gegeben sind. Berechne den Bruchteil: a b von G = u Berechne das Ganze: a b von u = E Welcher Bruchteil ist E von G? u u von G = E Beispiel Beispiel Berechne von. Lösung: (: ) = = 7 sind kg. Berechne das Ganze. Lösungsweg I: sind 6 kg (= die Hälfte von kg). Das Ganze ist dreimal so groß, beträgt also kg. Lösungsweg II: (u : ) = kg. Rückwärts gerechnet: ( kg : ) = kg. Beispiel Wie viel sind m von m? Gib den Anteil als Bruch an. Lösung: m sind von m. Der Bruchteil heißt. 6. Berechne den Bruchteil. a) 6 von 6 =. Rechnung: 6 : 6 b) c) von g = g. Rechnung: g : g g von m = m. Rechnung: m 7. Berechne den Bruchteil. a) von t b) 7 von 6 t c) von t d) 7 von t. Was möchtest du lieber haben? a) von oder von b) 7 von oder 7 von. Berechne das Ganze. a) sind b) sind 6 kg c) 7 sind 6 km

4 Bruchteile von Größen. Gib die farbig markierte Strecke als Teil der ganzen Strecke an a) b) m m c) d) 6 m 7 m. Wie groß ist die gefärbte Fläche in cm? Die Rechtecke sind in Originalgröße gezeichnet. a) b) c). Wie viel ist a) von? b) von? c) von? d) h von h? e) h von h? f) h von 7 h?. Tessa gibt von, Marc 7 von, Rena von Taschengeld für Süßigkeiten aus. Bei wem ist der Anteil am größten, bei wem am kleinsten?. Urlaubszeit. Familie Peters ist seit Tagen an der Ostsee. a) Fanny Peters meint: Wir haben noch der Urlaubszeit vor uns. b) Vater Peters bemerkt: Es ist so schön hier. Wir verlängern und haben erst unserer Zeit herum.. Ein neu gekauftes Auto verliert im ersten Jahr etwa seines Neupreises und im zweiten Jahr etwa seines Neupreises an Wert. a) Wie viel ist ein Auto nach zwei Jahren noch wert, wenn es neu gekostet hat? b) Ein anderes zwei Jahre altes Auto wird zu angeboten. 6. Gesje sagt: Ich wiege nur von meinem Vater plus 6 von meiner Mutter. Die beiden wiegen zusammen kg.

5 B Bruchteile Brüche Bruchzahlen Kürzen und Erweitern von Brüchen Beim Kürzen eines Bruches werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Beim Erweitern eines Bruches werden der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. = : : = = : : = = = = = 6 Man kann auch sofort durch Man kann auch sofort mit kürzen: : : =. erweitern: = 6., und bezeichnen gleich, und bezeichnen gleich 6 große Bruchteile. große Bruchteile. Beispiele. Kürzen: a) = : : =. Erweitern: a) = =. Kurz-Schreibweisen beim Kürzen: b) 6 = 6 : : = b) = = c) 6 = c) 6 = = 7. Zeige an den vorbereiteten Abbildungen, dass a) ist. = und b) =. Kürze soweit, wie dies möglich ist. a) 6 = b) =, 7, 6, 7, 7, 7,.. a) Erweitere mit : = = = b) Erweitere jeden Bruch mit (, ): 6 = =,,,, 7. = 6

6 Verhältnisse und Maßstäbe Verhältnisse und Maßstäbe Bei zwei Größen mit gleicher Einheit kann man das Verhältnis bilden. So ist das Verhältnis von zu gleich : oder gleich : (gelesen eins zu vier ). Zur Darstellung bestimmter Objekte benutzt man in der Regel maßstabgetreue Abbildungen oder Zeichnungen. Ein Maßstab ist das Verhältnis einer Bildlänge zur Originallänge. In welchem Verhältnis stehen die Gewichte eines Menschen (7 kg) und eines Elefanten (,6 t)? Lösung:,6 t = 6 kg. Das Gewichtsverhältnis ist 7 : 6 = 7 6 =. Die Gewichte verhalten sich wie :. Beispiel. In welchem Längenverhältnis stehen a) AB : BC, b) AB : CD, c) BC : CD? A B C D. Michael hat den Grundriss vom Erdgeschoss seines Elternhauses im Maßstab : aufgezeichnet. a) Wie lang und breit ist das Esszimmer (die Küche) in Wirklichkeit? b) Passt ein, m langer Schrank ins Wohnzimmer? Und wohin? Esszimmer Küche Flur Wohnzimmer Arbeitszimmer. Was bedeutet Maßstab :? Die Länge einer Bildstrecke verhält sich zur Länge der zugehörigen wie. Eine Originalstrecke ist.. Gängige Autokarten haben den Maßstab :. Jens plant einen Ausflug. Von A nach B sind es auf der Karte, cm, von B nach C, cm und von C zurück nach A, cm. Wie lang sind die gesamte Fahrstrecke und die einzelnen Teilstrecken wirklich? 7

7 B Bruchteile Brüche Bruchzahlen Bruchzahlen Wenn man Äpfel an Kinder verteilt, erhält jedes Kind eines Apfels. Wenn man durch dividiert, erhält man die Bruchzahl. Die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl liefert eine Bruchzahl. Denke daran: Durch Null darf man nicht dividieren. Ist der Nenner ein Teiler des Zählers, kann man einen Bruch in eine natürliche Zahl umformen. Bruchzahlen, die größer als sind, schreibt man auch als gemischte Zahlen. Bruchzahlen kann man der Größe nach ordnen. Dabei ist der Zahlenstrahl eine Hilfe. Beispiele. : =. : = =. 7 : = ( + ) : = : + : = + = 6. Ordne der Größe nach:,,, und.. =. : 7 = 7 = < < < <.. Schreibe als gekürzten Bruch, als gemischte Zahl oder als natürliche Zahl. a) : 6 = = = b) 7 : = = = c) : = = d) : = = = e) : = = f) : = =. Dividiere nach dem Muster von Beispiel. a) : 6 b) : c) 7 : d) : 6. Schreibe als Bruch und dann als Quotient aus natürlichen Zahlen. a) b) c) d) e) 7. a) b) 6 7 c) 6 d)

8 6 Positive rationale Zahlen 6 Positive rationale Zahlen Natürliche Zahlen und Bruchzahlen werden zur Menge der positiven rationalen Zahlen mit der N Zahl (zu Q + ) zusammengefasst. Das Mengenbild zeigt, dass die Menge N eine Teilmenge von Q + ist. Wenn du eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl b (ungleich ) dividierst, erhältst du die positive rationale Zahl a b. Dieser Quotient liefert, wenn du für a Null wählst, er liefert die Zahl, wenn a gleich b ist, und eine natürliche Zahl, wenn du für a ein Vielfaches von b wählst. Das Ergebnis einer Division zweier natürlicher Zahlen kannst du auch als Kommazahl (als Dezimalbruch) schreiben und damit auch eine positive rationale Zahl als Dezimalbruch. Im Alltag rechnet man meistens mit einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen. Q + a) : = = b) : = = c) : = = : =, : =,6 : =, =, 6 _ 6_ 6, 6 wird gelesen: zwei Periode sechs abbrechend abbrechend periodisch Beispiele. Ordne die Zahlen ; ;,; 7 ; der Größe nach. < < < <. Gib den Quotienten als Bruch und als Dezimalbruch an. a) : b) : c) : d) : e) : f) 6 : g) 7 : h) :