Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel

Transkript

1 Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel Aufgabenstellung: Gegeben sei die in Bild 1 gezeigte Excel-Tabelle mit Messwertepaaren y i und x i. Aufgrund bekannter physikalischer Zusammenhänge wird davon ausgegangen, dass zwischen y i und x i folgender Zusammenhang besteht: i 0 + c1 * xi c * xi y c + (1) Gesucht sind Werte für die Koeffizienten c 0, c 1 und c, für die sich eine minimale Summe der Fehlerquadrate ergibt. Lösungsweg 1: Diagrammanalyse mit der Funktion Trendlinie Vorgehensweise: Die Messwerte werden in einem Diagramm dargestellt. Anschließend wird mit der Regressionsfunktion Trendlinie in das Diagramm ein die Messwerte annäherndes Polynom. Grades eingefügt. 1. Den Excel-Zellbereich mit den Messwerten mit der Maus selektieren.. Den Diagrammassistenten aufrufen mit: Einfügen -> Diagramm. 3. Zunächst den Diagrammtyp festlegen (Schritt 1 von 4): Diagrammtyp: Punkt (XY) Untertyp: Punkte mit interpolierten Linien 4. Die Auswahl mit Weiter> bestätigen. 5. Die Quelldaten des Diagramms kontrollieren (Schritt von 4) Hierzu die Registerkarte Reihe anklicken und die Zellbezüge für die X- und Y-Werte überprüfen. Für die Bezeichnung der Datenreihe kann statt eines Zellbezugs ein benutzerdefinierter Text in das Feld Name: eingegeben werden. Bild 1: Messwerte im Excel-Arbeitsblatt Bild : Erste Eingaben im Excel-Diagramm-Assistenten HAW / Dept.F+F / J. Abulawi Regressionsrechnung mit Excel SS010 1/5

2 6. Die Eingaben mit Weiter> bestätigen. 7. Nun die weiteren Diagrammoptionen definieren (Schritt 3 von 4): Titel: Hier werden die Diagrammbeschriftungen eingetragen. Achsen Gitternetzlinien Standardwerte Legende übernehmen Datenbeschriftungen 8. Die Eingaben mit Weiter> bestätigen. 9. Schließlich wird das Diagramm durch Klicken auf Ende als Objekt in das aktive Tabellenblatt eingefügt (Schritt 4 von 4). 10. Im eingefügten Diagramm mit der Maus langsam über die angezeigte Kurve fahren, bis der Hilfetext Reihe Messwerte erscheint. Dann mit der rechten Maustaste das Kontextmenü einblenden und dort die Funktion Trendlinie hinzufügen anwählen. 11. Als Typ für die Trendlinie Polynomisch mit der Ordnung anwählen. 1. Im Menü Optionen sollte Gleichung im Diagramm darstellen angewählt werden. Die automatische Bezeichnung der Trendlinie kann im Menü Optionen durch einen benutzerdefinierten Text ersetzt werden. 13. Einstellungen mit OK bestätigen. 14. Ggf. im Diagramm das Textfeld mit der Regressionsformel an eine geeignete Stelle verschieben. 15. Das fertige Diagramm ist in Bild 4 gezeigt. Bild 3: Menüs zur Diagrammund Trendlinienerstellung Bild 4 (links): Resultierendes Diagramm mit Messwerten und polynomischer Regressionskurve. HAW / Dept.F+F / J. Abulawi Regressionsrechnung mit Excel SS010 /5

3 Überprüfung der per Trendlinie ermittelten Koeffizienten 16. Nun werden die von Excel ermittelten Regressionskoeffizienten überprüft. Dazu werden einer neuen Spalte Y- Werte mit der Trendlinienformel berechnet siehe Bild 5. (Die drei Koeffizienten wurden hier in die Zellen E1 bis E3 eingetragen, sie hätten aber auch als Zahlenwerte direkt in der Formel stehen können.) Bild 5: Formeleingabe für die Kontrollrechnung Die berechnete Datenreihe wird nun zur Kontrolle ins Diagramm einfügt. 17. Hierzu mit der rechten Maustaste auf den Diagrammrand klicken und im Kontextmenü Datenquelle anwählen. 18. Im Menü Reihe unter dem Feld Datenreihe auf die Schaltfläche Hinzufügen klicken. 19. In das Feld Name einen Titel für die neue Datenreihe eingeben. 0. Anschließend in das Feld X-Werte klicken und dann in der Exceltabelle die Zellen mit den X-Werten markieren. 1. Analog den Zellbezug für die berechneten Y-Werte eingeben.. Mit OK bestätigen. Wenn im Diagramm die Anzeige der Datenpunkte bei der neu berechneten Regressionskurve stört, kann dies folgendermaßen korrigiert werden. Bild 6: Einfügen der Kontrollrechnung in das Diagramm 3. Rechtsklick auf die Datenreihe Regressionsrechnung und Menüpunkt Datenreihen formatieren anwählen. 4. Im Menü Muster für Markierung die Einstellung Ohne anwählen. Das resultierende Diagramm mit den Messwerten und den beiden Regressionskurven ist als Bild 8 auf der folgenden Seite abgebildet. Obwohl die mit Regressionsrechnung bezeichnete Datenreihe mit der von Excel ermittelten Trendlinien-Formel berechnet wurde, weicht die manuell berechnete Regressionskurve im oberen Wertebereich von der automatisch erzeugten Trendlinie ab. Dies liegt daran, dass die drei Koeffizienten c 0, c 1 und c der Trendlinien-Formel von Excel stark gerundet angezeigt wurden. Bild 7: Formatierung der Datenreihe HAW / Dept.F+F / J. Abulawi Regressionsrechnung mit Excel SS010 3/5

4 Fazit: Die automatisch von Excel eingestellte Genauigkeit für die Anzeige der mit der Trendlinienfunktion ermittelten Koeffizienten reicht nicht aus! Diese Kurve ist zu ungenau! Bild 8: Excel-Diagramm mit Messwerten, Trendlinie und ungenauer Regressionskurve Erforderliche Abhilfe bzw. Korrektur: 5.. Auf die im Diagramm eingefügte Gleichung mit der rechten Maustaste klicken und dann im Kontextmenü die Funktion Datenbeschriftungen formatieren anklicken. 6. Im erscheinenden Menüfenster kann in der Kategorie Zahlen nun die Zahlenformatierung von 'Standard' auf 'Zahl' geändert und eine geeignete Anzahl von Dezimalstellen (z.b. 9 oder 10) festgelegt werden. 7. Nun werden die berechneten Regressionskoeffizienten mit ausreichender Genauigkeit im Diagramm angezeigt: HINWEIS: Dieselben Regressionskoeffizienten kann man auch ohne Diagramm direkt aus der Wertetabelle berechnen, wenn man die Excel-Arbeitsblattfunktion RGP() benutzt. Wie das geht, ist auf der nachfolgenden Seite als Lösungsweg beschrieben. HAW / Dept.F+F / J. Abulawi Regressionsrechnung mit Excel SS010 4/5

5 Lösungsweg Datenanalyse mit der Funktion RGP Vorgehensweise: Die gesuchten Koeffizienten sollen ohne den Umweg der Diagrammerstellung direkt mit der Funktion RGP zur Analyse linearer Trends ermittelt werden. Die Ausgangsgleichung der Aufgabenstellung (1) entspricht hier dem Ansatz der multiplen linearen Regression, für die Excel folgende Formel zugrunde legt: y m * x + m x + b () 1 1 * Die Gegenüberstellung mit der Ausgangsformel (1) ergibt folgende Äquivalenzen: y y i (3) b c 0 (4) m 1 c 1 (5) x 1 x i (6) m c (7) xi x (8) Excel benötigt demzufolge für die Auswertung eine Tabelle, die außer den Spalten mit den x- und y-werten noch eine Spalte mit den Werten x² enthält. Mit der oben rechts abgebildeten Tabelle kann die RGP-Funktion folgendermaßen eingesetzt werden. (Die Microsoft-Excel-Hilfe bietet ausführliche Informationen zur Anwendung der Funktion RGP.) 1. In der Exceltabelle wird ein Zellenfeld aus 3 x 5 Zellen markiert.. In das Eingabefeld wird folgende Matrixformel eingegeben: RGP(E6:E35;B6:C35;WAHR;WAHR) 3. Achtung: Die Eingabe der Matrixformel wird mit STRG+UMSCHALT+EINGABE abgeschlossen. 4. Die Ergebnisse der RGP-Funktion erscheinen in folgender Reihenfolge im markierten Zellenfeld: Die gesuchten Koeffizienten lauten demzufolge: b c 0,011 (9) 0 m c 0,0001 (10) 1 1 m c 0, (11) Ergebnis: Die mit der RGP-Funktion berechneten die Koeffizienten stimmen mit der im Diagramm angezeigten Trendlinie überein, wenn letztere mit ausreichend hoher Genauigkeit angezeigt wird. HAW / Dept.F+F / J. Abulawi Regressionsrechnung mit Excel SS010 5/5