Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs. Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln. Abbildung

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Matthias Brauer
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M LK HT B3 GTR (GG) Seite von 3 Name: Abiturprüfung 07 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O

1 M LK HT B3 GTR (GG) Seite von 3 Name: Abiturprüfung 07 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O (0 0 0), A (6 4 ), B(0 6 8), C( 6 4 ) und D (0 8 ) Eckpunkte eines schiefen Prismas OABCDEFG mit viereckiger Grundfläche OABC (siehe Abbildung). x 3 D G E F O C x x A B Abbildung Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht. Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

2 M LK HT B3 GTR (GG) Seite von 3 Name: a) () Stellen Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene H auf, die die Punkte O, A und B enthält. [Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: H:x x3 0) () Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden g, die H senkrecht schneidet und durch D verläuft. [Mögliche Lösung: 0 0 g: x 3 t, t IR] 4 (3) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g und der Ebene H. [Zur Kontrolle: S( 0 ) ] ( Punkte) b) () Zeigen Sie, dass die Diagonalen AC und OB des Vierecks OABC zueinander senkrecht sind und sich im Mittelpunkt T von AC schneiden. [Zur Kontrolle: T(0 4 ) ] Nach Aufgabe b) () ist das Viereck OABC ein Drachenviereck. () Bestimmen Sie das Volumen des Prismas OABCDEFG. (7 + 5 Punkte) c) Es gibt Ebenen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegen. () Beschreiben Sie die Lage zweier dieser Ebenen. () Begründen Sie die Volumengleichheit der beiden Teilkörper für einen der beiden Schnitte aus c) (). (3 + 3 Punkte) Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

3 M LK HT B3 GTR (GG) Seite 3 von 3 Name: d) Der Punkt B wird auf der Strecke BO zum Punkt B' des Vierecks OAB' C gleich lang sind. Ermitteln Sie die Koordinaten von B. ' O so verschoben, dass alle Seiten (4 Punkte) e) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Strecke OA, der von dem Punkt D den kürzesten Abstand besitzt. (6 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

4 M LK HT B3 GTR (GG) Seite von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 07 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln. Aufgabenart / Inhaltsbereich Innermathematische Argumentationsaufgabe / Vektorielle Geometrie. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 07 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu den Kompetenzerwartungen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen.. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Analytische Geometrie und Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen und Abstände Skalarprodukt. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

5 M LK HT B3 GTR (W) Seite von 6 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung ). Teilaufgabe a) () Eine Parametergleichung der Ebene H ist z. B.: 6 0 x r* 4 s* 6 8 bzw. 3 0 x r s ( rr,*,,* ss IR). x 3 0 x r s x 3 x 3 3r x rs. x r s Nach Eliminieren der Parameter r und s erhält man die Koordinatengleichung H: x x 0. 3 () Da die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet, ist ein Normalenvektor von H (z. B. 0 ) ein Richtungsvektor von g. Eine Parametergleichung von g lautet: 0 0 g: x 8 t (t IR). (3) Schnittpunktberechnung von g und H: S (0 8 t t) ( t IR) ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden g. t S t ist genau dann Schnittpunkt von g und H, wenn gilt: 8t ( t) 0 t 6. Eingesetzt in g erhält man den Schnittpunkt S( 0 ). Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

6 M LK HT B3 GTR (GG) Seite 3 von 6 Teilaufgabe b) () Es ist AC 0 0 und 0 OB 6. Da gilt, ist AC OB. Der Mittelpunkt der Strecke AC ist der Punkt T(0 4 ). Eine Gleichung der Geraden OB ist: 0 OB : x u 6 ( uir ). 8 Mit u 6 u0,5 8 u 0,5 und 0u folgt, dass T auf OB liegt und damit der Schnittpunkt von AC und OB ist. () Es gilt V Pr isma G Prisma h Pr isma. Da das Viereck OABC ein Drachenviereck ist, gilt für 0 den Flächeninhalt: G Prisma , 33[FE]. 0 8 Da D h und h H ist, gilt für die Höhe des Prismas: hpr isma DS , 4[LE]. Es folgt: V 440[VE] Pr isma. Teilaufgabe c) () Beispielsweise wird das Prisma durch die Ebene, die die Mittelpunkte der Strecken OD, AE und BF [und CG ] enthält, bzw. durch die Ebene K, die die Punkte O, B und F [und D] enthält, in zwei volumengleiche Teilprismen zerlegt. () Aus b) () und der nachfolgenden Info folgt, dass OB die Fläche des Vierecks OABC halbiert. Entsprechend halbiert DF die Fläche des Vierecks DEFG. Die Ebene K enthält die Strecken OB und DF. Das Prisma wird durch diese Ebene in zwei Teilprismen zerlegt. Da DS die Höhe beider Teilprismen ist, besitzen beide Teilprismen wegen VPr isma Grundfläche x Höhe denselben Volumeninhalt. Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

7 M LK HT B3 GTR (GG) Seite 4 von 6 Teilaufgabe d) In dem Drachenviereck OABC sind die Strecken OA und OC ( OA OC 56 [LE] ) gleich lang. Wenn alle vier Seiten gleich lang sein sollen, muss das Viereck eine Raute sein. In einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Der Mittelpunkt T(0 4 ) der Strecke AC ist der Schnittpunkt der Diagonalen der gesuchten Raute. Die Koordinaten von man aus OB' OT. Es folgt B '(0 8 4). B ' erhält Teilaufgabe e) Wird das Lot von einem Punkt T auf eine Gerade gefällt, so ist der Lotfußpunkt der Punkt auf der Geraden, der von T den kürzesten Abstand besitzt. Bestimmung der Koordinaten des Lotfußpunktes L OA für das Lot von D auf die Gerade OA : DL OA DLa OA 0. Dabei ist a OA ein Richtungsvektor der Geraden OA. (6 w 4 w w) ( w IR) 6w 3 5 4w 8 0w ; 8 w Da ist ein beliebiger Punkt auf OA L ist, liegt L auf der Strecke OA und ist damit der gesuchte Punkt. 8 Abiturprüfung 07 Nur für den Dienstgebrauch!

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Abbildung. Nur für den Dienstgebrauch! Seite von 2 Name: Abiturprüfung 205 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O (0 0 0), A (9 2 0), B ( 3 2 0), C ( 2 9 0) und S (, 5 0, 5 5) Eckpunkte