Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 1 von 6. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs

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1 Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 21 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen, notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien entfällt. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.

2 Seite 2 von 6 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung ). Teilaufgabe a) f 2 e 2. (1) f x 2x e x x 2. Schnittpunkt mit der y-achse: 2, Schnittpunkt mit der x-achse: 2. (2) x x x x. f x x e e x e x e x f x 1x e E x 1. Da die Funktion f an der Stelle x 1 das E E E Vorzeichen von + nach wechselt, ist fx H 1 e ist Hochpunkt des Graphen von f E x x x x. f x x e e x e x e x W W W W e lokales Maximum von f. f x x e x. Da die Funktion f an der Stelle x das Vorzeichen wechselt, ist x W Wendestelle von f. W 2 ist Wendepunkt des Graphen von f. (3) Wegen S S S f x f x 2x e x 1x e x e x hat die Gleichung S S S S f x f x keine Lösung. S S Daher haben die Graphen von f und f keinen Schnittpunkt. W E

3 Seite 3 von 6 Teilaufgabe b) (1) Wegen 3 x 1 x 3 x 2 x F x x e e x e x e f x ist F eine Stammfunktion von f. (2) Für x 2 A z gilt z f x dx Fz z F f x 2x e x. Daher ist z 3z e 3e z 3 e 3 der gesuchte Flächeninhalt. Teilaufgabe c) (1) Die Förderrate 2 steigt von 2 Millionen Tonnen pro Jahr zu Beginn des Jahres 213 [streng monoton] auf den Höchstwert von ca. 2,72 Millionen Tonnen pro Jahr am Ende des Jahres an. Danach nimmt sie [streng monoton] bis zum Ende des Jahres 21 auf Null ab. (2) Die gesamte Fördermenge der Jahre 213 und 21 entspricht dem Inhalt der vom Graphen von f und den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eingeschlossenen Fläche. A 2 32 e 3e 3,39. Mit dem Kontrollergebnis von b) (2) ergibt sich: 2 2 Die gesamte Fördermenge beträgt ca.,39 Millionen Tonnen. 2 Unter Förderrate ist stets die momentane Förderrate zu verstehen.

4 Seite von 6 (3) Dem Ende des 1. Quartals 21 entspricht der Zeitpunkt Für x. x [ x x (siehe unten)] kann die Förderrate durch die lineare Funktion g dargestellt werden, für die g f gxf x f 1 e x 2 e 1 3 e x e 1 12 e x e e 17 x. 16 und g x f gilt. Der Zeitpunkt x, zu dem die Ölförderung endet, ist die Nullstelle der Funktion g. g x 17 x : Mit Ablauf des 1. Quartals 217 wird die Ölförderung enden.

5 Seite von 6 7. Teilleistungen Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) Anforderungen Der Prüfling 1 (1) berechnet die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. 2 (2) berechnet f x maximal erreichbare Punktzahl. 3 3 (2) bestimmt rechnerisch die Koodinaten des Hochpunktes. (2) berechnet f x. 3 (2) bestimmt rechnerisch die Koodinaten des Wendespunktes. 6 (3) untersucht, ob sich die Graphen von f und f schneiden. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) Summe Teilaufgabe a) 2 Lösungsqualität EK 3 ZK DK Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeigt, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist. maximal erreichbare Punktzahl 2 (2) ermittelt Az. 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (1) Summe Teilaufgabe b) 1 Lösungsqualität EK ZK DK 3 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

6 Seite 6 von 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling 1 (1) beschreibt den Verlauf des Graphen von f im Intervall [; 2] im Sachzusammenhang. maximal erreichbare Punktzahl 3 Lösungsqualität EK ZK DK 2 (2) bestimmt die für den gesamten Zeitraum von Beginn des Jahres 213 bis Ende des Jahres 21 zu erwartende Fördermenge. 3 (3) ermittelt eine Gleichung der Funktion g. (3) berechnet den Zeitpunkt, zu dem die Ölförderung enden wird. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (1) Summe Teilaufgabe c) 1 3 Summe insgesamt Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2.