Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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Timo Kranz
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1 Physikdepartment E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung , Übungswoche Blatt 1 1. Dichte eines Atomkerns Der Kern eines Eisenatoms hat einen Radius von 5, m und eine Masse von 9, kg. a) Wie groß ist die Dichte des Kerns in Kilogramm pro Kubikmeter? Annahme: Eisenkern ist kugelförmig. r = 5, m, m = 9, kg = m V = m = 9, kg kg = 1, πr3 3 π(5, m) 3 m 3 b) Wenn die Erde die gleiche Dichte hätte, wie groß wäre dann ihr Radius? (Die Masse der Erde beträgt 5, kg.) Annahme: Erde kugelförmig: V E = 3 πr E 3 M E = 5, kg ( ) 1 3 ( ) M r = E 5, π = kg = 216 m = 0,22 km = 2, m kg 3π 1, m 3

2 2. Dimensionsanalyse Die Geschwindigkeit v eines Körpers hänge von der Zeit t in der Form v = At 2 Bt ab. a) Bestimmen Sie die korrekte SI-Einheit für [A]. b) Bestimmen Sie die korrekte SI-Einheit für [B]. v = At 2 Bt [v] = [At 2 ] = [Bt] = m s [A][t 2 ] = m s [A] = m s 1 s 2 = m s 3 [B][t] = m s [B] = m s 2 c) Die Kraft zwischen zwei Massen M und m hängt vom Abstand R nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz in der folgenden Weise ab: F = γ Mm mit γ als Gravitationskonstante und R 2 F als Gravitationskraft. Welche Dimension hat γ, wenn die Kraft F die Dimension kg m hat? s 2 kg m s 2 F = γ Mm R 2 = [γ] [F] = [γ] [M][m] [R] 2 kg kg m 2 [γ] = [γ] = m3 kg s 2 kg m3 kg 2 s 2 2

3 3. Größenordnung Machen Sie für die folgenden Aufgaben selbst sinnvolle Annahmen! Gesucht ist nicht ein genauer Zahlenwert, sondern eine sinnvolle Abschätzung! Wenn Ihnen selbst Erfahrungswerte fehlen, versuchen Sie die Daten im Internet zu recherchieren. a) Schätzen Sie ab, wieviel Profiltiefe ein Autoreifen bei einer Umdrehung durchschnittlich verliert. Hinweis: Wie viele km kann man mit einem Reifen ca. fahren? Wieviele Umdrehungen absolviert der Reifen in seiner Lebensdauer? Wieviel Profil verliert er etwa insgesamt? Wieviel Profil verliert er also pro Umdrehung? Realistische Annahmen: hier nur Abschätzung verlangt, es gibt keine ultimativ genaue richtige Antwort Auch in Praxi hängt der genaue Reifenabrieb von Fahrweise, Art der Reifen (Winter, Sommer), Montage (vorne, hinten) und anderen Faktoren ab. Annahme: Lebensdauer des Reifens L = 0000 km zur Verfügung stehendes Profil p = 0,5 cm Durchmesser des Reifens D = 55 cm Umfang: U = 2πr = πd = π 55 cm 1,75 m Zahl der Umdrehungen in der Lebenszeit des Reifens N = L U = 2,3 107 = = 23 Millionen! Abrieb pro Umdrehung: = p N Entspricht etwa dem Durchmesser eines Atoms! 0,5 cm = = 0,2 nm. 2,3 107 b) Wie viele Zellen N gibt es ungefähr im menschlichen Körper? Hinweis: Wie groß ist etwa das Volumen einer Zelle? Wie groß ist etwa das Volumen eines Menschen? Abschätzung Länge einer Zelle: l 10 µm Volumen einer Zelle: V Z = l 3 = (10 µm) 3 = m 3 Volumen Mensch: Dichte: ρ 0,9... 1,1 kg/l 1000 kg/m 3 Masse: m 80 kg m = ρv M V M = m ρ Zahl der Zellen: N = V M V Z = m ρ l 3 = (10 5 ) 3 kg m 3 kg m 3 = = 80 Billionen 3

4 . Meeresblick und Zugspitzblick a) Sie stehen auf der Plattform eines Leuchtturms am Meeresufer, deren Brüstung sich 17,6 m über dem Meeresspiegel befindet und überlegen sich, wie weit der Meereshorizont entfernt ist. Der Radius der Erdkugel sei r E = 6, 10 3 km. Bestimmen Sie die Entfernung des Horizonts d in der Einheit km! b) Der Gipfel der Zugspitze ist ca m höher als das flache Land, das man am nördlichen Horizont sieht. Sie fragen sich, wie weit man wohl von der Zugspitze aus bei klarer Sicht nach Norden sehen kann. Bestimmen Sie die Entfernung zum Horizont! Verbindung beider Punkte mit Erdmittelpunkt: Rechtwinkliges Dreieck Satz von Pythagoras:, da h << r E. Zugspitze r 2 E + d2 = (r E + h) 2 d 2 = r 2 E + 2 r Eh+h 2 r 2 E d = 2 r E h+h 2 2 r E h d = 2hr E = 2 17,6 m m = m = 15 km d 180 km Anmerkung: Rechnen wir genau, also mit dem h 2 unter der Wurzel, erhalten wir für den Zugspitzfall einen um 17 m größeren Wert, also einen Fehler von 10 = 1 / 100 %. Beim Turm ist der Fehler noch kleiner.

5 5. Verpackungsmaschine In einer Schraubenfabrik kommt eine Maschine zum Einsatz, die jeweils 1000 Schrauben eines Typs in eine Schachtel verpacken soll. Eine Ihrer Aufgaben als Qualitätsmanager ist es zu beurteilen, wie vertrauenswürdig diese Angabe von 1000 Schrauben auf der Verpackung ist. Sie nehmen sich als Stichprobe 10 fertige Schachteln und zählen deren Inhalt. Sie zählen 1000, 997, 1002, 1006, 999, 1000, 1001, 995, 1002 und 100 Schrauben. a) Wie viele Schrauben befinden sich durchschnittlich in einer Schachtel? x = 1 n x A1 = 1000, x A2 = 997,..., x A10 = 100 n = 10 n x Ai = 1 10 ( ) i=1 = 1000,6 b) Wie groß ist die Standardabweichung? s = 1 n 1 n (x Ai x) 2 = i=1 = { 1 9 [( ,6)2 +( ,6) 2 +( ,6) 2 + +( ,6) 2 +( ,6) 2 +( ,6) 2 + +( ,6) 2 +( ,6) 2 +( ,6) 2 + +( ,6) 2 ]} 1 2 = 3,20 c) Geben Sie das Messergebnis in einer physikalisch korrekten Form an. (Fehler werden immer aufgerundet!) x = x± 1 n s = 1000,6±1,1 5

6 6. Exponentialfunktion Stellen Sie sich vor, Sie falten ein Stück Papier immer wieder zur Hälfte. Schätzen Sie ab, wie dick der Stapel nach 50 Faltungen sein würde. Nehmen Sie an, dass es sich um normales Kopierpapier handelt, das eine Dicke von 0,1 mm aufweist! d = Zahl der Faltungen N Zahl der Lagen N N = 50; d = 0,1 mm Stapeldicke: D = d 2 N = 0,0001 m 1, = 1, m. zum Vergleich: Lichtgeschwindigkeit: Abstand Erde-Mond: Abstand Erde-Sonne: c = m/s d Mond = 3, m d Sonne = 1, m 6

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