Approximation durch Taylorpolynome

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1 TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni an der Fakultät II der Technischen Universität Berlin Marcel König, Filiz Büyükcaglar und Markus Rausch 10. September 2009 Ansprechpartner Markus Rausch rausch@math.tu-berlin.de Web Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Taylorpolynome 1 3 Restglied Lagrange sche Form des Restglieds Aufgaben 5 5 Lösungen 5 Diese Arbeit ist im Rahmen eines Schülerpraktikums entstanden. Verfasser: Lukas Richter

2 Taylorpolynome Seite 1 1 Grundlagen Funktionen sind im Allgemeinen schwer handhabbar. Bereits das Ausrechnen des Funktionswertes f (x) an einer Stelle x kann Probleme bereiten. Zum Beispiel lässt sich bei der Funktion f (x) = e x per Hand nur schwer ein Funktionswert ermitteln. Weitere Beispiele sind die Sinus- und Cosinus-Funktionen. Auch hier sind konkrete Funktionswerte nur schwer ermittelbar. Der Taschenrechner kann auch nur eine begrenzte Anzahl an Zeichen anzeigen, es reicht also, wenn er eine Annäherung berechnet. Auch in der Physik kann es ausreichend sein, mit einfachen Annäherungen statt mit komplizierten Formeln zu arbeiten. Die oben genannten Funktionen haben eine Besonderheit: sie sind differenzierbar. Das heisst, dass in jedem Punkt x 0 der Differentialquotient f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 existiert. Wenn es nun erwünscht ist, die Ännäherung an einem Punkt x 0 zu haben, dann bietet es sich an, die Tangente an diesen Punkt zu nehmen. Diese ist ein lineare Funktion der Form f (x) = m x + n. Im Punkt x 0 stimmt diese zwar mit der ursprünglichen Funktion überein, für den Rest der Funktion bietet sie aber im Allgemeinen keine gute Annäherung. Eine bessere Methode fanden Brook Taylor ( ) und Colin Maclaurin ( ). Sie fanden eine Möglichkeit, differenzierbare Funktionen durch Polynome, sogenannte Taylorpolynome, anzunähern. Ein Polynom hat die Form p(x) := a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n wobei gilt, dass a i R. Das Summensymbol n bedeutet, dass beginnend mit k = 0 der hinter dem Summenzeichen stehende Term addiert wird und dabei jedes mal k um eins erhöht wird, bis es n erreicht. Also ist zum Beispiel Beispiel 1. k = n Polynome sind einfach ausrechenbar, problemlos differenzierbar und integrierbar. Taylorpolynome sind von einem Punkt x 0, dem Entwicklungspunkt abhängig. Sie bieten in einem kleinen Intervall meist eine gute Annäherung an die Ausgangsfunktion. Entfernt man sich allerdings weiter vom Entwicklungspunkt, wird die Annäherung schlechter. 2 Taylorpolynome Definition 1. Sei f eine n-mal differenzierbare Funktion und x 0 ein Punkt, dann wird das n-te Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 definiert durch: T n f (x) := f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Dabei bezeichnet f (n) die n-te Ableitung von f und n! die n-te Fakultät. Diese ist definiert durch n! := n Beispiel 2. Seien f (x) := 1 + x + x 2 und x 0 := 0, x 1 := 2 Entwicklungspunkte. Taylorpolynom zu den Entwicklungspunkten x 0 und x 1. Berechne das zweite

3 Taylorpolynome Seite 2 Zunächst werden die erste und zweite Ableitung benötigt. Wie leicht nachzurechnen ist, gilt: f (x) = 1 + 2x, f (x) = 2 Wir setzten nun den Punkt x 0 = 0 in die Definition für das Taylorpolynom ein und fassen zusammen T 2 f (x) = f (0) 0! (x 0)0 + f (0) (x 0) ! 2! f (0)(x 0) 2 = 1 + x + x 2 Selbiges tun wir für den Punkt x 1 = 2 T 2 f (x) = f (2) 0! (x 2)0 + f (2) (x 2) ! 2! f (2)(x 2) 2 = 7 + 5(x 2) + (x 2) 2 = 1 + x + x 2 Wir sehen, dass das zweite Taylorpolynom sowohl zum Entwicklungspunkt x 0 = 0 als auch zum Entwicklungspunkt x 1 = 2 mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. 3 Restglied Im letzten Beispiel stimmte das Taylorpolynom mit der ursprünglichen Funktion überein. Dies ist nicht immer so, besonders dann nicht, wenn die Ausgangsfunktion kein Polynom ist. In diesem Fall ist es interessant zu wissen, um wie viel das Taylorpolynom von der ursprünglichen Funktion abweicht. Besonders bei praktischen Anwendungen kann es sein, dass die Abweichung einen bestimmten Grenzwert nicht überschreiten darf. So sollte zum Beispiel die Abweichung bei einem Taschenrechner, der das Ergebnis auf 8 Stellen genau angibt, kleiner als 10 8 sein. Um diese Abweichung gut ausdrücken zu können, wird ein Restglied R n(x) eingeführt. Dieses klären wir in folgender Definition 2. R n (x) := f (x) T n f (x) Es ist, wie leicht zu erkennen, sowohl von dem Grad des Taylorpolynoms als auch von der Stelle x abhängig. Zum konkreten Abschätzen des Restglieds gibt es verschiedene Wege. Ist die Funktion nicht nur n-mal differenzierbar, wie für das Taylorpolynom vorrausgesetzt, sondern n + 1-mal differenzierbar lässt sich die Restgliedabschätzung nach Lagrange durchführen. Diese ist meistens einfach durchführbar und liefert eine gute Abschätzung. 3.1 Lagrange sche Form des Restglieds Satz 1. Ist f n + 1-mal differenzierbar dann existiert zu jedem x x 0 ein c zwischen x 0 und x, so dass gilt: R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Wir wollen diese Aussage nun Beweisen. Dazu wird der zweite Mittelwertsatz benötigt. Dieser besagt: Satz 2. Seien f, g auf einem Intervall I := (a, b) differenzierbar und g (x) 0 in I. Dann existiert ein Punkt c in I, so dass gilt: f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a) Hierbei lässt sich der linke Teil als das Verhältnis des Anstiegs der Tangenten an die Funktionen f und g im Punkt c verstehen. Die rechte Seite kann man als Verhältnis des Anstiegs der Sekanten von f und g zwischen a und b verstehen. Der Satz sagt aus, dass, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind, immer ein c existiert, so dass die rechte gleich der linken Seite ist.

4 Taylorpolynome Seite 3 Beweis. Wir beginnen den Beweis von Satz 1 damit, dass wir Definition 2 nach f (x) umstellen. Und R n (x) mit 1 = (x x 0) n+1 (x x 0 ) multiplizieren. Da laut Vorraussetzung x x n+1 0 ist, darf mit (x x 0) n+1 (x x 0 ) multipliziert werden. n+1 R n (x) := f (x) T n f (x) f (x) = T n f (x) + R n (x) = T n f (x) + Nun betrachten wir das Taylorpolynom an der Stelle x 0. T n f (x 0 ) = f (k) (x 0 ) (x 0 x 0 ) k = k! Daraus können wir für das Restglied an der Stelle x 0 folgern, dass R n(x) (x x 0 ) n+1 (x x 0) n+1 f (k) (x 0 ) 0 k = f (x 0 ) k! R n (x 0 ) = f (x 0 ) T n f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 gilt. Wir sehen also, dass sowohl R n (x 0 ) = 0 als auch das (x 0 x 0 ) n+1 = 0 für n > 0, daraus folgt g(x) := R n (x) (x x 0 ) n+1 = R n (x) R n (x 0 ) (x x 0 ) n+1 (x 0 x 0 ) n+1 Jetzt dürfen wir den zweiten Mittelwertsatz anwenden, da ((x x 0 ) n+1 ) = (n +1)(x x 0 ) n 0 für x x 0. Es existiert also ein c 1 zwischen x und x 0, so dass gilt g(x) = R n (x) R n (x 0 ) (x x 0 ) n+1 (x 0 x 0 ) n+1 = R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n Wenden wir nun den zweiten Mittelwertsatz n + 1-mal an, erhalten wir g(x) = = =. R n(c 1 ) (n + 1)(c 1 x 0 ) n R n(c 2 ) n(n + 1)(c 2 x 0 ) n = R (n+1) n (c n+1 ) n (n + 1) Der Nenner lässt sich nach der Definition der Fakultät zu (n + 1)! zusammenfassen. Für die (n + 1)-te Ableitung von R n(x) gilt R n (n+1) (x) = (f (x) T n f (x)) (n+1) = f (n+1) (x) T n f (n+1) (x) da T n f (x) ein Polynom mit Grad n ist, gilt für die n+1-te Ableitung T n f (n+1) (x) = 0 und damit R (n+1) n (x) = f (n+1) (x). Also ist g(x) = f (n+1) (c n+1 ) (n + 1)! Und damit nach Definition von g(x) R n (x) (x x 0 ) n+1 = f (n+1) (c n+1 ) (n + 1)! Umstellen ergibt für c := c n+1 Rn(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1

5 Taylorpolynome Seite 4 Literatur [FRI] K. Fritzsche: Grundkurs Analysis 1: Differentiation und Integration in einer Veränderlichen, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008 [FUR] P. Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 1, 1. Auflage, Martina Furlan Verlag, Dortmund 1995

6 Taylorpolynome Seite 5 4 Aufgaben Aufgabe 1. Sei f : R R, x e x. Berechne das 3. und 4. Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 := 0 und bestimme jeweils die maximale Abweichung in den Intervallen (0, 0.1], (0, 1] und (0, 10]. 5 Lösungen Lösung 1. Zunächst werden die benötigten Ableitungen berechnet: f (x) = e x, f (x) = e x, f (x) = e x Nun wird das dritte Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x 0 = 0 aufgestellt: T 3 f (x) = 1 0! f (0) + 1 1! f (0)(x 0) + 1 2! f (0)(x 0) ! f (0)(x 0) 3 = 1 + x x x 3 Restgliedabschätzung: Für die Restgliedabschätzung wird zusätzlich die 4. Ableitung f (4) (x) = e x gebraucht. Mit der Restgliedabschätzung nach Lagrange folgt: R 3 (x) = f (3+1) (c) (3 + 1)! (x 0)3+1 = ec 24 x 4 Nun suchen wir den größten Wert, den das Restglied annehmen kann. Dieser hängt von x und c ab. x 4 wächst für x > 0 bei zunehmendem x. Wir wählen also für x den größten Wert aus dem Intervall. e c wächst ebenfalls bei zunehmendem c, wir wählen also auch hier den größtmöglichen Wert für c. Es gilt also: Für das 4. Taylorpolynom gilt: Restglied: x (0, 0.1] R 3 (x) e (0.1) x (0, 1] x (0, 10] R 3 (x) e R 3 (x) e T 4 f (x) = 1 + x x x x 4 R 4 (x) = ec 5! x 5 Das Restglied ist wieder für große x und c am größten. Es gilt also: x (0, 0.1] R 4 (x) e0.1 5! x10 8 x (0, 1] x (0, 10] R 4 (x) e1 5! R 4 (x) e10 5!