Basiswissen 5. Klasse

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1 Basiswissen 5. Klasse 1. Daten Zur Darstellung von Daten werden oft Strichlisten, Figurendiagramme oder Säulen- und Strichdiagramme verwendet. Strichliste: Alter Strichliste Anzahl 5-10 Jahre Jahre Jahre 1 Figurendiagramm: Alter 5-10 Jahre Jahre Jahre Säulendiagramm: 4 Anzahl Jahre Jahre Jahre Alter 1 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

2 Strichdiagramm: 4 3 Anzahl Jahre Jahre Jahre Alter 2. Große natürliche Zahlen Zehnerpotenzen: Die Stufenzahlen des Zehnersystems lassen sich in Form von Potenzen darstellen. Die hochgestellte Zahl nennt man Exponent. Die Zahl unter dem Exponenten nennt man Basis. Basis und Exponent heißen zusammen Potenz. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Potenz Basis Exponent Beispiel: = 10 7 = Stellenwerttafel: Sie dient zum leichteren Lesen von großen Zahlen. Beispiel: Billionen Milliarden Millionen Tausender HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Basiswissen 5. Klasse David Jobst

3 Die Menge der natürlichen Zahlen enthält unendlich viele Zahlen. Menge der natürlichen Zahlen: = { 1;2;3;4;5;6;... } Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0: 0 = { 0;1;2;3;4;5;6;... } 3. Summen und Differenzen Addieren: Zusammenzählen von Zahlen nennt man Addieren. Die zugehörige Rechenart heißt Addition. Beispiel: = Summand 2. Summand Wert der Summe Summe Subtrahieren: Abziehen von Zahlen nennt man Subtrahieren. Die zugehörige Rechenart heißt Subtraktion. Beispiel: = 7 Minuend Subtrahend Wert der Differenz Differenz Rundungsregel Kurzfassung: Man rundet die Zahlen so, dass man geschickt im Kopf rechnen kann. Bei Zahlen kleiner als 5 wird abgerundet und bei Zahlen größer als 5 wird aufgerundet. Beispiel: =? = Schriftliches Addieren und Subtrahieren: Einer, Zehner,... werden untereinander geschrieben und nacheinander addiert oder subtrahiert. Man kann aber auch nebeneinander addieren oder subtrahieren. Beispiel: = Basiswissen 5. Klasse David Jobst

4 4. Vorteilhaftes Rechnen Assoziativgesetz der Addition: In einer Summe darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Beispiele: = (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = = (12 + 9) + 11 = 12 + (9 + 11) = 32 Kommutativgesetz der Addition: In einer Summe darf man die Reihenfolge der Summanden ändern, ohne dass sich der Wert des Summe verändert. Beispiele: = = = = 41 a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a Tipps zur Rechenreihenfolge: 1. Berechnen der Klammern 2. Sortieren der Glieder 3. Zusammenfassen Beispiel: (7 + 1) = = = 103 Beachte bei Termgliederung: Die zuletzt ausgeführte Rechenart legt die Art des Terms fest. 5. Messen unterhalb der Null Beachte: Werte von Größen können unterhalb der Null liegen. Gekennzeichnet sind sie durch ein vorangestelltes Minuszeichen. Man kennt bis jetzt nur positive ganze Zahlen z.b. 1, 2, 3,.... Die Zahlen mit dem vorangestellten Minuszeichen nennt man negative ganze Zahlen z.b. -1, -2, -3,.... Die Null ist neutral und somit weder positiv noch negativ. Die positiven ganzen Zahlen, die Null und die negativen ganzen Zahlen bilden die Menge der ganzen Zahlen. Menge der ganzen Zahlen: = {... 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;...} 4 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

5 Beispiele: -7 C; -500 Schulden, Die Zahlengerade und erste Rechnungen Zahlengerade: Sie stellt einen Ausschnitt der Menge der ganzen Zahlen dar, d.h. die negativen Zahlen, die Null und die positiven Zahlen. Je weiter man nach rechts geht, desto größer werden die Zahlen. Die gewöhnliche Einheit ist 1 cm. Gegenzahlen: Zahlen, die sich im Vorzeichen unterscheiden und gleich weit von der Null entfernt sind, heißen Gegenzahlen. Beispiel: -3 ist die Gegenzahl von 3. Umgekehrt ist 3 die Gegenzahl von -3. Beide Zahlen sind 3 Einheiten von der Null entfernt. Addition von Zahlen: = 4 Subtraktion von Zahlen: = Basiswissen 5. Klasse David Jobst

6 7. Vereinfachung der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Addition einer negativen Zahl: Man subtrahiert die Gegenzahl. Beispiel: 20 + (-15) = = 5 Subtraktion einer negativen Zahl: Man addiert die Gegenzahl. Beispiel: 20 - (-15) = = 35 Beachte: Rechen- und Vorzeichen müssen durch Klammern getrennt werden. Beispiel: 22 + (-11) - (-3) = = = Das Koordinatensystem Koordinatensystem: Es besteht aus einer x-achse, die waagrecht verläuft, und einer y-achse, die senkrecht verläuft. Beide Achsen teilen die Zeichenebene in vier Quadranten (I, II, III, IV) ein, die gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind. Jeder Punkt P kann in das Koordinatensystem mit P (x/y) eingetragen werden. Dabei geht man von Null (= Ursprung des Koordinatensystems) aus um x auf der x- Achse nach rechts oder links und dann von dort aus um y nach oben oder unten. Beispiel: Punkt A (1/3) Um 1 auf der x-achse nach rechts von Null (= Ursprung des Koordinatensystems) aus und von dort um 3 in y-richtung nach oben. Punkt B (-1/-2) Um 1 auf der x-achse nach links von Null (= Ursprung des Koordinatensystems) aus und von dort um 2 in y-richtung nach unten. 6 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

7 9. Geometrische Grundbegriffe und Figuren Strecke: Geradlinige Verbindung zweier Punkte. Beispiel: Strecke a oder [AB] Halbgerade: Besitzt einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt. Beispiel: Halbgerade h oder [AB Gerade: Besitzt weder Anfangspunkt noch Endpunkt. Beispiel: Gerade g oder AB Parallele Geraden: Geraden, die zueinander parallel sind, haben überall denselben Abstand d. Beispiel: Gerade g1 und g2 Schreibweise: g1 g2 Senkrechte (orthogonale) Geraden: Geraden, die zueinander senkrecht sind, schließen einen rechten Winkel miteinander ein. Beispiel: Gerade g1 und g2 Schreibweise: g1 g2 Diagonale im Rechteck: Verbindungsstrecke zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten. Beispiel: [BD] und [AC] Radius r: Die Verbindungsstrecke von Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie. Hier: z.b. r = [MA] Durchmesser d: Die Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die auch den Mittelpunkt enthält. Hier: z.b. d = [AB] Für die Längen der Strecken gilt hier: r = MC = MA = MB und AB = 2 MA 7 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

8 10. Winkel Beachte: Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Schreibweise: α = ASB β = BSA A: Punkt auf dem 1. Schenkel S: Scheitel B: Punkt auf dem 2. Schenkel Nullwinkel: α = 0 Spitzer Winkel: 0 < β < 90 Rechter Winkel: γ = 90 Stumpfer Winkel: 90 < < 180 δ Gestreckter Winkel: ε = 180 Überstumpfer Winkel: 180 < η < 360 Vollwinkel: ϕ = Basiswissen 5. Klasse David Jobst

9 11. Achsensymmetrische Figuren Achsensymmetrie: Eine Figur ist dann achsensymmetrisch, wenn man die Figur so falten kann, dass beide Hälften genau deckungsgleich aufeinander zu liegen kommen. Symmetrieachse: Die Faltgerade ist die Symmetrieachse. Bildpunkt: Jeder Punkt einer Figur wird von der einen Seite der Symmetrieachse im gleichen Abstand auf die andere Seite auf gleicher Höhe gespiegelt. Diesen Punkt nennt man Bildpunkt. Beispiel: Die Punkte C und C sind Bildpunkte, weil ihre Verbindungsstrecke von der Achse senkrecht halbiert wird. Dasselbe gilt für A und A bzw. B und B. 12. Zerlegen in Faktoren Multiplizieren: Malnehmen von Zahlen nennt man Multiplizieren. Die zugehörige Rechenart heißt Multiplikation. Beispiel: = Faktor 2. Faktor Wert des Produkts Produkt Kommutativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man die Reihenfolge der Faktoren ändern, ohne dass sich der Wert des Produkts verändert. Beispiele: 4 3 = 3 4 = = = 2079 a b = b a 9 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

10 Assoziativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert. a b c = (a b) c = a (b c) Beispiele: = (2 3) 4 = 2 (3 4) = = (9 12) 33 = 9 (12 33) = 3564 Primzahlen: Das sind Zahlen, die genau zwei Teiler haben, nämlich 1 und sich selbst. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15,... Primfaktorzerlegung: Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt, dessen Faktoren nur Primzahlen sind. Bei mehrfachem Auftauchen einer Primzahl verwendet man die Potzenschreibweise. Beispiel: 432 = = = Potenzschreibweise: Beispiel: = Potenz Basis Exponent Beispiel: 432 = = = = Quadratzahlen: Potenzen mit dem Exponenten 2. Dividieren: Teilen von Zahlen nennt man Dividieren. Die zugehörige Rechenart heißt Division. Beispiel: 20 : 10 = 7 Dividend Divisor Wert des Quotienten Quotient Beachte: Die Division durch 0 ist nicht erlaubt! Beispiel: 23 : 0 = NICHT ERLAUBT! 0 : 23 = 0 ERLAUBT! 10 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

11 13. Rechnen mit natürlichen Zahlen Distributivgesetz für Summen: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer Summe darf man jeden Summanden mit der Zahl multiplizieren und im Anschluss, falls möglich, die entstehenden Produkte addieren. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht. Beispiele: 3 (4 + 2) = = = = (40 + 3) 6 = = 258 Distributivgesetz für Differenzen: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer Differenz darf man den Minuenden und den Subtrahenden mit der Zahl multiplizieren und im Anschluss, falls möglich, die entstehenden Produkte subtrahieren. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht. Beispiele: 2 (7-3) = = 14-6 = = (30-1) 7 = = 203 Tipps für die Rechenreihenfolge: Klammern vor Potenzen vor Punkt vor Strich! 14. Schriftliche Multiplikation und Division Schriftliche Multiplikation: Jede Ziffer des zweiten Faktors wird mit dem ersten Faktor multipliziert und dann jeweils darunter geschrieben. Anschließend erfolgt eine ganz normale Addition. (Stellen beachten!) a (b + c) = (b + c) a = a b + a c a (b - c) = (b - c) a = a b - a c 11 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

12 Schriftliche Division: Ein geeigneter Teil des Dividenden wird durch den Divisor dividiert, der jeweilige verbleibende Rest durch die nachfolgenden Ziffern des Dividenden ergänzt : 25 = : 25 = 1 1 Rest 1 1 ist die erste Zifffer des Ergebnisses nächste Ziffer des Dividenden (4) von oben holen 14 : 25 =?; 25 geht 0 mal in 14 0 ist die zweite Ziffer des Ergebnisses weitere Ziffer (2) von oben holen 142 : 25 = 5 Rest 17 5 ist die dritte Ziffer des Ergebnisses letzte Ziffer des Dividenden (5) von oben holen 175 : 25 = 7 Rest 0 7 letzte Ziffer des Ergebnisses die Division geht auf 15. Das Zählprinzip Baumdiagramme: Zur Veranschaulichung mehrerer Kombinations- und Wahlmöglichkeiten. Zählprinzip: Die Gesamtanzahl an Wahlmöglichkeiten entspricht der Anzahl der Baumenden. Beachte: Man muss sich darüber im Klaren sein, ob sich das Zählprinzip auf eine Stufe oder mehrere Stufen bezieht. Beispiel: Aus drei Körben mit Bällen wird jeweils ein Ball gezogen. Im ersten Korb liegen zwei Bälle, einer mit der Aufschrift 1, einer mit der Aufschrift 2. Ebenso im zweiten Korb. Im dritten Korb liegen 3 Bälle mit den Aufschriften 1, 2 und 3. Wie viele verschiedene Zahlen können gebildet werden, wenn der erste Korb die Hunderter -,der zweite Korb die Zehner -,der dritte Korb die Einerstelle der Zahl liefert? Lösung: = 12 Möglichkeiten 12 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

13 16. Multiplikation ganzer Zahlen Tipp: Man multipliziert zuerst die ganzen Zahlen, ohne dass man auf die Vorzeichen achtet. Im Anschluss legt man die Vorzeichen fest. Beispiele: 2 4 = 8 3 (-5) = -15 (-2) 6 = -12 (-4) (-9) = = 0 0 (-2) = 0 Vorzeichenregeln: (+) (+) = + (+) (-) = - (-) (+) = - (-) (-) = Division ganzer Zahlen Tipp: Man dividiert zuerst die ganzen Zahlen, ohne dass man auf die Vorzeichen achtet. Im Anschluss legt man die Vorzeichen fest. Vorzeichenregeln: (+) : (+) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - (-) : (-) = + Beispiele: 8 : 4 = 2 6 : (-2) = -3 (-18) : 3 = -6 (-25) : (-5) = 5 (-3) : 0 = NICHT ERLAUBT! 0 : 2 = 0 ERLAUBT 13 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

14 18. Größen im Alltag Beispiele für Größen: 4 kg, 12, 90 cm, 23 s, Maßzahl Einheit,... Umwandeln in eine kleinere Einheit: Multiplikation der Maßzahl mit dem Umrechnungsfaktor und Verwenden der kleinen Einheit. Beispiel: 45 km = m = m Umwandeln in eine größere Einheit: Division der Maßzahl durch den Umrechnungsfaktor und Verwenden der größeren Einheit. Beispiel: kg = kg = 32 1 t = 32 t oder ( kg : 1000) t = 32 t 19. Größen in Kommaschreibweise Tipp: Das Komma wird um so viele Stellen verrutscht, wie der Umrechnungsfaktor Nullen besitzt. Um Größen vergleichen zu können, braucht man die gleiche Einheit. Umwandeln in die größere Einheit: Komma nach links Umwandeln in die kleinere Einheit: Komma nach rechts Beispiel: 2345 m in km: 2345 m = 2,345 km 12,54 m = 1254 cm (3 Stellen 3 Nullen beim Umrechnungsfaktor 1000) 20. Addition und Subtraktion von Größen Tipp: Größenangaben mit gleichen Einheiten lassen sich ganz normal addieren und subtrahieren. Die Kommas müssen jedoch genau untereinander stehen. Bei verschiedener Stellenzahl können nach dem Komma Nullen ergänzt werden für eine bessere Übersicht. Beispiel: 857,45 45,30 + 1,18 903,93 Umrechnungsfaktor 1.Größe 2.Größe... km Euro Cent m 10 dm 10 cm 10 mm t kg g mg Tag h min s 857,45 45,30-1,18 810,97 14 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

15 21. Multiplikation und Division von Größen Bei der Multiplikation multipliziert man die Größe mit der Zahl zuerst ohne Beachtung des Kommas. Nach der Multiplikation setzt man so das Komma, dass das Ergebnis genauso viel Nachkommastellen wie die Maßzahl hat. Bei Multiplikationen mit 10, 100, 1000, 10000,... rutscht man das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts. Beispiele: 32,56 3 = 97,68 23,235 m 100 = 2323,5 m Dividiert man eine Größe durch: - eine natürliche Zahl, so ergibt sich wieder eine Größe - eine andere Größe (derselben Einheit), so ergibt sich eine Zahl ohne Einheit. Beim Dividieren setzt man das Komma, wenn das Komma beim Dividenden erreicht ist. Reichen die Ziffern zum Dividieren nicht aus, dürfen nach dem Komma Nullen ergänzt werden. Bei Division durch 10, 100, 1000, 10000,... rutscht man das Komma um die Anzahl der Nullen nach links. Beispiel: 18,30 kg : 3 = 6,10 kg Maßstab und Umfang Maßstab: Gibt an, wie Längen der Wirklichkeit auf einem Plan dargestellt sind. z.b. 1 : 500 bedeutet, dass die Längen in Wirklichkeit 500 mal so lang sind wie im Plan. 500 ist die Maßstabszahl. wahre Länge = (1 : Maßstabszahl) Länge im Plan Länge im Plan = wahre Länge : (1 : Maßstabszahl) Maßstabszahl = wahre Länge : Länge im Plan 15 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

16 Beispiel: a) Maßstab 1:4000, Länge im Plan 5 cm wahre Länge = cm = cm = 200 m b) Maßstab: 1:4000, Länge in der Wirklichkeit 500 m Länge im Plan = 500 m : 4000 = mm : 4000 = 125 mm = 12,5 cm c) Länge im Plan 5 cm, Känge in der Wirklichkeit 25 m Maßstabszahl = 2500 cm : 5 cm = : 500 Maßstab Umfang: Summe aller Seitenlängen von Figuren. Umfang eines Rechtecks: u = l + b + l + b = l + l + b + b u = 2 l + 2 b Umfang eines Quadrats: u = a + a + a + a u = 4 a 23. Flächeninhalt Definition Flächeninhalt: Die Größe einer Fläche wird als Flächeninhalt bezeichnet. Man kann ihn z.b. durch Auslegen der Fläche mit kleineren Flächenstücken (z.b. Kästchen) messen. 16 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

17 24. Flächeneinheiten Flächeninhalte können in unterschiedlichen Flächeneinheiten angegeben werden. Die Flächeneinheiten ergeben sich aus den Inhalten von Einheitsquadraten : Seitenlänge des Quadrats Flächeninhalt 1 mm 1 mm 2 1 cm 1 cm Der Umrechnungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten beträgt immer 100. km Beispiel: 384 ha = a 472 cm 2 = 4,72 dm 2 Umrechnungsfaktor 1.Größe 2.Größe ha a m dm cm mm Flächenformeln Flächeninhalt Rechteck: ARechteck = Länge Breite ARechteck = l b Beispiel: Länge = 8 cm; Breite = 4 cm ARechteck = l b = 8 cm 4 cm = 32 cm 2 Flächeninhalt Quadrat: AQuadrat = Seitenlänge Seitenlänge AQuadrat = a a AQuadrat = a 2 Beispiel: Seitenlänge = 8 m AQuadrat = 8 m 8 m = 64 m 2 17 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

18 Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte eines Rechtecks, da man das Rechteck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke zerlegen kann. ADreieck = (Länge Breite) : 2 ADreieck = l b : 2 Beispiel: Länge = 8 cm; Breite = 4 cm ADreieck = l b : 2= 8 cm 4 cm : 2 = 16 cm 2 Flächeninhalt Parallelogramm: Die Fläche eines Parallelogramms lässt sich so zerlegen, dass wieder ein Rechteck entsteht. AParallelogramm = Länge Höhe AParallelogramm = l h Beispiel: Länge = 8 m; Höhe = 4 m ARechteck = l h = 8 m 4 m = 32 m Der Oberflächeninhalt eines Quaders und eines Würfels Quader: Man stelle sich den Quader wie ein Zimmer vor. Der Quader besitzt am Boden und an der Decke zwei gleich große Rechtecke (A1 = 2 Länge Breite). Zudem besitzt der Quader an der Vorderseite und an der Rückseite zwei gleich große Rechtecke (2 Länge Höhe = A2). Außerdem sind die beiden Flächen, die nach rechts und links gewandt sind, gleich groß (2 Breite Höhe = A3). Addiert man alle Flächeninhalte so erhält man den Oberflächeninhalt des Quaders. 18 Basiswissen 5. Klasse David Jobst

19 OQuader = 2 Länge Breite + 2 Länge Höhe + 2 Breite Höhe OQuader = 2 l b + 2 l h + 2 b h OQuader = 2 (l b + l h + b h) Beispiel: Länge = 8 cm; Breite = 4 cm; Höhe = 3 cm OQuader = 2 (l b + l h + b h) OQuader = 2 (8 cm 4 cm + 8 cm 3 cm + 4 cm 3 cm) OQuader = 136 cm 2 Würfel: Der Würfel besitzt sechs gleich große Flächen. Da jede Seitenlänge a lang ist, ergibt sich für eine Fläche: A = a a = a 2. Für den Oberflächeninhalt des Würfels muss A also mit 6 multipliziert werden. OWürfel = 6 Seitenlänge Seitenlänge OWürfel = 6 a a OWürfel = 6 a 2 Beispiel: Seitenlänge = 4 m OWürfel = 6 a 2 OWürfel = 6 (4 m) 2 OWürfel = 84 m 2 Beachte: Bei Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetzt sind, muss man aufpassen, dass Berührflächen nicht zur Oberfläche des Körpers dazuzählen. Beispiel: OKörper = OQuader + OWürfel - 2 ABerührfläche 19 Basiswissen 5. Klasse David Jobst