Physik für Bauingenieure

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1 Fachbereich Physik Prof. Dr. Rudolf Feile Dipl. Phys. Markus Domschke Sommersemster Mai 200 Physik für Bauingenieure Übungsblatt 6. Luftfeuchtigkeit Gruppenübungen In einer Finnischen Sauna herrscht bei T Sauna = 95 C eine Luftfeuchtigkeit vonϕ= 20%. a) Wie hoch ist die Luftfeuchtigkeit, wenn die Temperatur nach dem Ausschalten der Sauna auf die Zimmertemperatur T Zimmer = 20 C gesunken ist? b) Wieviel (Masse) Wasser muss noch kondensieren oder verdampfen, damit die Luftfeuchtigkeit bei dieser Temperatur einen Wert vonϕ= 00% erreicht? Die Sauna hat die Maße 3, 5 m 2, 5 m 2, 5 m, nehmen Sie an, dass kein Wasserdampf aus der Sauna entweichen kann. Die Verdampfungswärme von Wasser ist h V = 2257 kj. Als Bezugsdruck für die Clausius-Clapeyronkg Gleichung für Wasser setzen Sie p 0 = 4, hpa. a) Um die Luftfeuchtigkeit zu bestimmen muss der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei den beiden Temperaturen bestimmt werden. Damit kann der Wasser-Partialdruck bestimmt werden. Der Sättigungsdampfdruck bei 95 C ist: p H2 O, 95 C=p 0 e h V m mol Sauna = 803,082hPa mit m mol = 8 g mol Damit kann der Wasser-Partialdruck bei 20% Luftfeuchtigkeit bestimmt werden zu: p 20% = 0,2 p H2 O, 95 C= 60,66hPa Bleibt der Sättigungsdampfdruck bei Zimmertemperatur analog zu oben zu berechnen. p H2 O, 20 C=p 0 e h V m mol Zimmer = 26,98hPa Da der Wasser-Partialdruck bei 95 C mit 20% Luftfeuchtigkeit höher ist als der Sättigungsdampfdruck bei Zimmertemperatur, liegt die Luftfeuchtigkeit bei über 00%. b) Zuerst muss die Molzahl des überschüssigen Wassers mit Hilfe des idealen Gasgesetzes berechnet werden. n H2 O= p 20% V p H 2 O, 20 C V = 90,627mol R T Sauna R T Zimmer Damit kann die Masse des kondensierten Wassers bestimmt werden. m H2 O= n H2 O m mol =,63kg

2 2. Dichte schwülwarmer Luft Wie groß ist die Dichte schwülwarmer Luft mitϕ= 80% Luftfeuchtigkeit bei T= 32 C im Vergleich mit absolut trockener Luftϕ= 0% bei der selben Temperatur? Was sind Konsequenzen, die Sie aus dem Ergebnis ziehen können? Zuerst muss die Masse des in einem Kubikmeter Luft gespeicherten Wassers bei den 80% Luftfeuchtigkeit und 32 C berechnet werden. m H2 O= n H2 0 m mol mit n H2 O= p 80%, 32 C V R T 32 C p 80%, 32 C berechnet man über den Sättigungsdampfdruck des Wassers. p 80%, 32 C = 0,8 p H2 O, 32 C= 0,8 p 0 e h V m mol 32 C = 4,476hPa Das ergibt eine Masse des Wassers von 29,4 Gramm pro Kubikmeter Luft. Jetzt müssen die Dichten der schwülwarmen und der trockenen Luft berechnet werden. Dafür benötigt man die Massen. (p Luft = 03 hpa) m Luft, 80% = m H2 O+ n Luft, 80% 80% m mol, N2 + 20% m mol, O2 Dasselbe berechnet man für die trockene Luft zu = m H2 O+ (p Luft p 80%, 32 C ) V 0,8 2 m R T mol, N + 0,2 2 m mol, O 32 C = 29,4g+38,293mol 0,8 2 4 g g + 0,2 2 6 = 32,24g mol mol m Luft = n Luft 80% m mol, N2 + 20% m mol, O2 = 49,88g Die Dichten sind also ρ Luft, 80% = m Luft, 80% V Luft =,32 kg ρ Luft = m Luft V Luft =,50 kg Die Dichte feuchter Luft ist offensichtliche geringer als die trockener Luft. Konsequenz: feuchte Luft steigt auf. Bei genügend großer Höhe wird der Taupunkt wegen Abkühlung unterschritten, es entstehen Wolken. 3. Wärmestrom durch eine Ziegelwand Wie groß ist der Wärmestrom durch einen Quadratmeter Ziegelwand (Wärmeleitfähigkeitλ=, 2 W ) einer Dicke m K von d= 5 cm, wenn auf einer Seite eine Temperatur von T innen = 2 C und auf der anderen Seite eine Temperatur von T außen = 5 C herrschen? Nehmen Sie dazu an, dass die Mauerfugen dieselbe Wärmeleitkennzahl wie die Ziegel haben. Der Wärmestrom ist gegeben durch die Gleichung Q= Q = λ A dt(x). t dx Für den Wärmestrom durch eine Materialschicht führt das zu folgender Gleichung: Q= λ A Taußen T innen d = 288W Der Wärmestrom durch einen Quadratmeter Ziegelwand nach draußen ist also 288 W.

3 4. Wärmestrom durch eine einseitig isolierte Ziegelwand Sie bringen zur Verringerung der Wärmeverluste eine d iso = 0 cm dicke Schicht aus Hartschaum auf die Ziegelwand auf (λ=0.025 W m K ). a) Wie groß ist der Wärmestrom jetzt (pro Quadratmeter)? b) Wo bringen Sie den Hartschaum an auf der Innenseite oder auf der Außenseite? Begründen Sie die Antwort mit Hilfe der Temperatur an der Grenzfläche zwischen den Ziegelwand und dem Hartschaum und der Tatsache, dass Wasserdampf durch die Materialien diffundieren, bzw. durch feine Spalten dringen kann (Die Luftfeuchtigkeit auf der Innenseite istϕ= 50%). a) Verwendet man mehrere Materialschichten, so setzt sich der Wärmestrom aus den Einzelschichten zusammen. Q= A Taußen T innen mit = R Ziegel + R Schaum = d Ziegel λ Ziegel + d Schaum λ Schaum Berechne Komponenten von : R Ziegel = d Ziegel = 0,25 m2 K λ W Ziegel R Schaum = d Schaum = 4,0 m2 K λ W Schaum Damit folgt ein Wärmestrom von Q = 8, 727 W nach draußen. b) Lösung nach Formel im Skript für die Temperatur in der Mitte. Abfolge innen Ziegel außen Hartschaum: A. Taupunkt Abfolge innen Hartschaum außen Ziegel: T M = T innen R Schaum T M2 = T innen R Ziegel + T außen R Ziegel + T außen R Schaum = 9,909 C = 3,909 C Im ersten Fall ist die Temperatur nur geringfügig geringer als die Innentemperatur, so dass der Taupunkt dort noch nicht unterschritten ist. Es kann somit kein Wasser in der Grenzschicht kondensieren. Im zweiten Fall dagegen kondensiert das Wasser mit Sicherheit - und gefriert in der Grenzschicht, wodurch die Verbindung von Ziegel und Hartschaum gelöst werden kann. Hausübungen Ein Luftvolumen von k mit einer Luftfeuchtigkeit von 70% bei sommerlich warmen Temperaturen von T= 30 C steigt nach oben. a) Bei welcher Temperatur erreicht die Luftfeuchtigkeit 00%. b) In 3000 m Höhe herrscht eine Temperatur von 0 C. Welche Menge Wasser (Regen) wird in dieser Höhe kondensieren, wenn Sie annehmen, dass sich dasselbe Luftvolumen am Erdboden nach dem Aufsteigen in 3000 m Höhe befindet (p 0 = 4, hpa). a) Gefragt ist die Temperatur T Tau, bei der der Wasserdampf-Partialdruck (00%) gleich dem von 70% des bei T= 30 C möglichen Sättigungsdampfdrucks ist, d.h. der Taupunkt erreicht ist, also p Tau (p 0, T Tau )=ϕ p 70%,30 C (p 0, T 30 C ) Setzt man die Dampftdruckformel p= p 0 e h V m mol ein so erhält man nach der Umformung: p 0 e h V m mol Tau =ϕ p 0 e h V m mol Der Taupunkt liegt bei 23,44 C. h V m mol Tau = lnϕ+ h V m mol T Tau = h V m mol R = h V m mol lnϕ = 296,59K Rlnϕ T h V m mol

4 b) Hier muss wieder die in der Luft enthaltene Menge Wasser berechnet werden. Am Erdboden ist folgende Menge Wasser gespeichert: m H2 O, 0m=n H2 O, 0m m mol = p(p 0, 30 C) V m mol R T 30 C =, mol 8 g = mol 23,32 06 kg Dasselbe berechnet man für die Höhe von 3000 m bei 0 C: m H2 O, 3000m=n H2 O, 3000m m mol = p(p 0, 0 C) V m mol R T 0 C = 0, mol 8 g = mol 6, kg Die Regenmenge beträgt also 7, kg. Optional: Den Meteorologen interessiert dann die Regenmenge pro Quadratmeter. Das Niederschlagsvolumen ist V Regen = m Regen = 7,02 06 kg = 7, ρ H2 O 000 kg Damit kann der Niederschlag pro Quadratmeter ausgerechnet werden. V Regen l (km) 2= 7,02 m 2 B. Wärmestrom durch eine doppelseitig isolierte Ziegelwand Betrachten Sie erneut den Wärmestrom durch einen Ziegelwand ( Quadratmeter, Dicke d = 5 cm). Nun seien auf beiden Seiten der Wand eine d iso = 0 cm dicke Schicht aus Hartschaum aufgebracht. a) Wie groß ist der Wärmestrom jetzt? b) Skizzieren Sie das Temperaturprofil in diesem Wandaufbau? a) Da mehrere Materialschichten, zusammengesetzter Wärmestrom der Einzelschichten. Q= A Taußen T innen mit = R Schaum + R Ziegel + R Schaum ist somit = R Ziegel + 2 R Schaum = 8,25 m2 K W. Das ergibt einen Wärmestrom von Q= 4,43W nach draußen. b) Für die Skizze werden die Zwischentemperaturen nach jeder Schicht benötigt. T Schaum = T innen T außen R Schaum = 7,723K T Ziegel = T innen T außen R Ziegel = 0,554K Überprüfung: 2 T Schaum + T Ziegel = 36 K Damit ergibt sich folgendes Bild: T / C x / cm

5 C. Schmilzendes Eis Für die Semesterabschlussfeier besorgen Sie 200 Portionen Speiseeis zu je 50 g und transportieren diese in Ihrem PKW mit einem kugelförmigen Isolierbehälter aus Styropor. Der Innenraum dieses Behälters fasst ein Volumen von V= 35 l. Seine Wandstärke beträgt d= 5 cm. Auf der Rückfahrt von der Eisdiele bekommen Sie eine Motorpanne. Als der Pannendienst nach einiger Zeit endlich kommt, bemerken Sie, dass die Temperatur in Ihrem Wagen auf T PKW = 50 C angestiegen ist und das Eis im Isolierbehälter gerade anfängt zu schmelzen. Wieviele Portionen Eis sind noch übrig, wenn Sie schließlich nach zwei weiteren Stunden bei 50 C den Isolierbehälter zur Feier gebracht haben? Hinweis: Nehmen Sie an, dass das Speiseeis dieselben thermodynamischen Eigenschaften wie reines Wassereis hat. (Schmelzpunkt, Schmelzwärme von q schmelz = 0, J ). Der Wärmeleitfähigkeitskoeffizient von Styropor ist kg λ=0, 7 W m K.) Um berechnen zu können, wie viel Eis noch übrig ist, muss der Wärmeverlust des Styroporbehälters (also die Wärmezufuhr von außen) berechnet werden. Aus der Vorlesung wissen wir, dass der Wärmeverlust gegeben ist durch: Q O = j Q (R i ) O Kugel mit j Q (R)= λ R 2 i T a ) R i R a (T Berechne also zuerst die Radien des Behälters V Kugel = 4π 3V 3 R3 R= 4π 3V R i = 4π 3 3 = 0,203m R a = R i + d= 0,253m Damit folgt für die Wärmestromdichte j Q (R i )= 2,88 W m 2 und letztlich der Wärmeverlust (der Umgebung) Q O = j Q (R i ) O Kugel = j Q (R i ) 4πR 2 i= 09,72W. Damit kann das aufgetaute Eis berechnet werden. Erst wird die Schmelzwärme, die durch das Auto erzeugt wird berechnet. Dann die Menge an Eis die geschmolzen ist. Q schmelz = Q O t =09,72W 7200s=7,9 0 5 J m schmelz = Q schmelz q schmelz = 2,364kg Damit sind noch 27,636 kg Eis übrig. Das entspricht 84,24 Portionen.