Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur

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1 Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur Hauptseminar: Mathematische Modellierung Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Mária Lukácová-Medvidová Referent: Timo Lunkenheimer um&client=firefox- b&source=lnms&tbm=isch&sa=x&ved=0ahukewjh88qy- 9TeAhVRZ1AKHb1WCkEQ_AUIDigB&biw=1280&bih=888#imgrc= p2qar0zh6hskwm:

2 Aufbau Einführung Warum wird die Altersstruktur berücksichtigt? Modellentwicklung Modellannahmen Zustandsvariablen Modellparameter Beispiel Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums Langfristige Entwicklung der Bevölkerung

3 Einführung Einfachste Modelle zur Bevölkerungsentwicklung lassen die Altersstruktur der Bevölkerung außer Acht Problem: kann zu völliger Fehleinschätzung der Wachstumsdynamik führen Interessante Informationen gehen verloren, Bsp.: Renten, Gesundheitssystem, Bildungsplanung, Fischfang

4 Aktuelle Bevölkerungspyramide Deutschland und Prognose für 2060 Abb. 1: Bevölkerungspyramide Deutschland Abb. 2: Prognose Bevölkerungspyramide Deutschland

5 Modellentwicklung (Leslie-Modell) Bevölkerung wird in n Altersklassen aufgeteilt, die durch gleich lange Zeitintervalle charakterisiert sind, z.b. ein Jahr Betrachtet werden die Größen der Altersklassen zu diskreten Zeitpunkten t = 0, 1, 2, 3, Zeiteinheit entspricht Zeitintervall einer Altersklasse

6 Modellannahmen Sterbe und Geburtenraten bleiben konstant Es findet keine Migration (Ein- und Auswanderung) statt Die Zahl der Geburten hängt nur von der Anzahl der Frauen ab, der Anteil der Männer daran wird also vernachlässigt

7 Zustandsvariablen und Modellparameter x i (t): Anzahl der Frauen der Altersklasse i zum Zeitpunkt t y i (t): Anzahl der Männer der Altersklasse i zum Zeitpunkt t u i : Anteil der Frauen der Altersklasse i, der die Altersklasse i+1 erreicht v i : Anteil der Männer der Altersklasse i, der die Altersklasse i+1 erreicht a i : mittlere Anzahl von Töchtern, die eine Frau in der Altersklasse i bekommt b i : mittlere Anzahl von Söhnen, die eine Frau in der Altersklasse i bekommt

8 Jahrgangsstärken von Männern und Frauen für Deutschland 2003 Abb. 3: Jahrgangsstärken von Männern (gestrichelt) und Frauen (durchgezogen) in Deutschland Ortlieb et al., Mathematische Modellierung 2013, S. 97

9 Altersabhängige Sterberaten für Deutschland 2003 Abb. 4: Altersabhängige Sterblichkeit der Frauen (schwarz) und Männer (grau) in Deutschland Ortlieb et al., Mathematische Modellierung 2013, S. 101 Die Modellparameter u i und v i sind die Gegenwahrscheinlichkeiten der dargestellten Sterbewahrscheinlichkeiten.

10 Geburtenraten nach dem Alter der Mütter für Deutschland 2003 Abb. 5: Mittlere jährliche Anzahlen der Geburten von je 1000 Frauen der verschiedenen Altersklassen. Ortlieb et al., Mathematische Modellierung 2013, S. 102 Um aus den Geburtenzahlen die Modellparameter a i und b i bestimmen zu können, benötigt man zusätzlich den Anteil der Mädchen und Jungen an den Neugeborenen.

11 Die Dynamik der weiblichen Population. Einfacher Leslie-Prozess Die Entwicklung der weiblichen Population kann ohne die männliche betrachtet werden: x 1 (t+1) = a 1 x 1 (t) + + a n x n (t) x i (t+1) = u i-1 x i-1 (t) (i = 2,, n) Mit dem Vektor x = (x 1,, x n ) lässt sich die Entwicklung der weiblichen Population in der Form x(t+1) = Ax(t) schreiben, wobei

12 Populationsdynamik mit zwei Geschlechtern Die männliche Population lässt sich nicht für sich betrachten, weil die Zahl der neugeborenen Söhne von den vorhandenen Müttern abhängt y 1 (t+1) = b 1 x 1 (t) + + b n x n (t) y i (t+1) = v i-1 y i-1 (t) (i = 2,, n) y(t+1) = Bx(t) + Cy(t) mit y = (y 1,, y n )

13 Populationsdynamik mit zwei Geschlechtern Der gesamte Iterationsprozess lässt ich dann folgendermaßen darstellen:

14 Aufgabe Stellen Sie zu der im Folgenden beschriebenen Bevölkerung das Leslie- Modell x(t+1) = Ax(t) y(t+1) = Bx(t) + Cy(t) auf, d.h. bestimmen Sie die zugehörigen Vektoren x(0) und y(0) sowie die Matrizen A, B und C: Eine Population mit zwei Altersklassen startet mit 100 Mitgliedern, von denen 75% Frauen sind, in der Altersklasse 1. Die Frauen der Altersklasse 1 bekommen im Mittel eine Tochter und drei Söhne. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% erreichen sie die zweite Altersklasse, in der sie durchschnittlich zwei Töchter und einen Sohn bekommen. Die Männer sterben mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%, bevor sie die Altersklasse 2 erreichen.

15 Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums Wie entwickelt sich die Bevölkerung für t? Zweck einer solchen Langzeitanalyse nicht die Erstellung von Prognosen Herleitung von Indikatoren, die den Status quo kennzeichnen Beispiel anhand eines einfachen Leslie-Modells mit drei Altersklassen (Tafel)

16 Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums Für die männliche Population ergibt sich der Grenzwert wie bei der weiblichen Population ist auch bei der Gesamtpopulation die langfristige Altersverteilung durch den Eigenvektor zum größten reellen Eigenwert der Systemmatrix gegeben

17 Langzeitanalyse und Indikatoren des Bevölkerungswachstums Dritter Indikator: mittlere Anzahl an Töchtern, die eine Frau im Laufe ihres Lebens zur Welt bringt für menschliche Populationen liegt näher bei der 1 als ist leichter zu berechnen und sollte daher verwendet werden, wenn man nur wissen will, ob eine Bevölkerung wächst oder schrumpft

18 Aufgabe Eine weibliche Population mit drei Altersklassen unterliege der folgenden Populationsdynamik: Welche Voraussetzungen müssen die Reproduktionsraten a 2, a 3 erfüllen, damit die Population weder unbeschränkt wächst, noch ausstirbt?

19 Indikatoren der Bevölkerungsdaten für Deutschland (2003) Sterbe- und Geburtenraten von Folien 9 und 10 48,7% der Neugeborenen sind Mädchen und 51,3% Jungen (unabhängig von der Altersklasse) = 0,9857, = 0,6463 Abb. 6: Langfristige Altersverteilung auf Basis der Bevölkerungsdaten in Deutschland Ortlieb et al., Mathematische Modellierung 2013, S. 113

20 Diskussionsfrage Für wie aussagekräftig haltet ihr das Leslie-Modell? Erinnert euch an die Modellannahmen.

21 Vergleich heute Prognose von 2003 Abb. 7: Bevölkerungspyramide Deutschland Abb. 8: Aus dem Jahr 2003 mit dem Leslie-Modell prognostizierte Bevölkerungspyramide für Deutschland Ortlieb et al., Mathematische Modellierung 2013, S. 103

22 Literatur Ortlieb, P. O., von Dresky, C., Gasser, I., Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Eine Einführung in zwölf Fallstudien. Wiesbaden: Springer Spektrum